Как сделать развертку цилиндра

Круглый прямой цилиндр, развертка и формула для ее площади

Цилиндр — это одна из пространственных фигур, которая является объектом изучения стереометрии. Важная характеристика любой фигуры — это площадь ее поверхности. В данной статье рассмотрим, что собой представляет развертка цилиндра, а также покажем, как вычислить ее площадь.

Цилиндр как фигура геометрии

Предположим, что у нас имеется некоторая плавная кривая. Это может быть круг, эллипс, парабола и так далее. Возьмем отрезок произвольной длины, который не лежит в плоскости кривой, и опишем с помощью него поверхность, следуя направлению кривой и транслируя отрезок параллельно самому себе. Полученная поверхность называется цилиндрической или просто цилиндром. Отмеченная кривая называется директрисой (направляющей), а отрезок — генератрисой (образующей).

Если к цилиндрической поверхности добавить еще две плоские одинаковые фигуры, ограничивающие эту поверхность с торцов, то полученное тело также называется цилиндром. Оно состоит из двух равных оснований и цилиндрической поверхности.

Для наглядного представления описанной фигуры ниже приведен рисунок. На нем изображен эллиптический цилиндр, имеющий полуоси a и b и высоту h (дистанция между основаниями).

Круглый прямой цилиндр

Пусть директрисой будет окружность некоторого радиуса. Тогда образованная генератрисой фигура будет называться круглым цилиндром. Тем не менее генератриса относительно плоскости, ограниченной директрисой, может быть направлена произвольным образом. Поэтому в общем случае говорят о наклонном круглом цилиндре. Если же генератриса будет перпендикулярна плоскостям основания, то цилиндр называется прямым. Он показан на рисунке ниже.

Здесь AB = DC — радиус цилиндра, AD = BC = h — высота фигуры. Для прямого цилиндра высота всегда равна длине образующей. Отрезок AD обозначает ось цилиндра — прямая, соединяющая две центральные точки оснований. От оси цилиндра все точки боковой поверхности лежат на одном расстоянии, равном радиусу фигуры.

Далее в статье будем рассматривать развертку поверхности цилиндра, круглого и прямого.

Развертка круглого прямого цилиндра

Когда говорят о развертке цилиндра, то подразумевают общую площадь его поверхности, представленную плоскими фигурами. Круглый прямой цилиндр образован двумя кругами, имеющими одинаковые радиусы, и одной боковой поверхностью, которая эти круги соединяет друг с другом.

На рисунке показан бумажный цилиндр. Как осуществляется построение развертки цилиндра? Возьмем воображаемые ножницы и отрежем одно основание вдоль окружности. Затем проделаем аналогичные действия со вторым основанием. Боковую поверхность разрежем вдоль генератрисы, то есть параллельно оси фигуры, и развернем ее. Таким образом, мы получили развертку, которая показана на рисунке ниже.

Очевидно, что она состоит из двух одинаковых кругов. Что касается цилиндрической поверхности, то в разрезанном виде она представлена прямоугольником. Развертку удобно использовать при определении площади поверхности рассматриваемой фигуры.

Площадь развертки цилиндра

Выше мы показали, как можно получить развертку фигуры. Чтобы рассчитать ее площадь, необходимо сложить площади для всех ее частей, то есть для двух круглых оснований и одного прямоугольника.

Обозначим радиус основания буквой r, а высоту фигуры — буквой h. Площадь одного основания равна площади круга, то есть:

Здесь pi — число Пи, приблизительно равное 3,14.

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, представляющего боковую поверхность фигуры в развернутом виде, необходимо знать две его стороны. Одна из них равна высоте h. Вторая, как можно догадаться, соответствует длине директрисы, то есть длине окружности. Обозначим ее l. Тогда можно записать следующие равенства:

Здесь Sb — площадь прямоугольника, равная площади цилиндрической поверхности.

Учитывая, что фигура имеет два основания, складываем рассчитанные величины, получаем общую площадь развертки цилиндра:

Площадь S фигуры однозначно определяется через ее радиус и высоту.

Покажем, как использовать это равенство для решения геометрической задачи.

Задача на нахождение радиуса фигуры

Известно, что общая поверхность круглого прямого цилиндра составляет 60 см 2 . Чему равен радиус основания цилиндра, если его высота равна 7 см, а фигура имеет лишь одно основание.

Описанный в условии задачи цилиндр представляет собой бочку без крышки, поэтому площадь его поверхности образована не двумя, а одним основанием.

Если учесть названный факт, тогда формула для площади фигуры запишется в следующем виде:

Подставим все известные из условия величины в это равенство, получим:

3,14*r 2 + 43,96*r — 60 = 0

Мы получили классическое полное квадратное уравнение. Его решение даст искомое значение радиуса r. Решаем через дискриминант:

При решении уравнения отрицательный корень был отброшен, в виду его нефизического значения.

Таким образом, параметры открытого цилиндра из условия задачи составляют 7 см в высоту и 2,5 см в диаметре.

Как сделать развертку цилиндра

Пошаговое решение задачи №9 — построение развертки конуса и цилиндра (Фролов / Бубенников)

Необходимо построить развертку поверхностей и перенести линию пересечения поверхностей на развертку. В основе данной задачи рассматриваются поверхности (конуса и цилиндра) с их линией пересечения, приведенные в предыдущей задаче 8.

Для решения таких задач по начертательной геометрии необходимо знать:

— порядок и методы построения разверток поверхностей;

— взаимное соответствие между поверхностью и ее разверткой;

— частные случаи построения разверток.

Порядок решения задачи

1. Отметим, что разверткой называется фигура, получаемая в
результате разреза поверхности по какой-либо образующей и постепенного разгибания ее до полного совмещения с плоскостью. Отсюда развертка, прямого кругового конуса — сектор с радиусом, равным длине образующей, и основанием, равным длине окружности основания конуса. Все развертки строятся только из натуральных величин.

Рис.9.1

— длину окружности основания конуса, выраженную в натуральной величине делим на ряд долей: в нашем случае — 10, от количества долей зависит точность построения развертки (рис.9.1.а);

— откладываем полученные доли, заменяя их хордами, на длине
дуги, проведенной радиусом, равным длине образующей конуса l=|Sb|. Начало и конец отсчета долей соединяем с вершиной сектора — это и будет развертка боковой поверхности конуса.

Второй способ:

— строим сектор с радиусом, равным длине образующей конуса.
Заметим, что как в первом, так и во втором случае за радиус берется крайняя правая или левая образующие конуса l=|Sb|, т.к. они выражены в натуральной величине;

— при вершине сектора откладываем угол а, определяемый по формуле:

Рис.9.2

где r — величина радиуса основания конуса;

l — длина образующей конуса;

360 — постоянная переводная в градусы величина.

К сектору-развертке строим основание конуса радиуса r.

2. По условиям задачи требуется перенести линию пересечения
поверхностей конуса и цилиндра на развертку. Для этого используем свойства взаимной однозначности между поверхностью и ее разверткой, в частности, отметим, что каждой точке на поверхности соответствует точка на развертке и каждой линии на поверхности соответствует линия на развертке.

Отсюда вытекает последовательность перенесения точек и линий
с поверхности на развертку.

Рис.9.3

Для развертки конуса. Условимся, что разрез поверхности конуса произведен по образующей Sa. Тогда точки 1, 2, 3,…6
будут лежать на окружностях (дугах на развертке) с радиусами соответственно равными величинам расстояний, взятым по образующей SA от вершины S до соответствующей секущей плоскости с точками 1’, 2’, 3’…6’ -|S1|, |S2|, |S3|….|S6| (рис.9.1.б).

Положение точек на этих дугах определяется расстоянием, взятым с горизонтальной проекции от образующей Sa, по хорде до соответствующей точки, например до точки с, ас=35 мм (рис.9.1.а). Если расстояние по хорде и дуге сильно разнятся, то для уменьшения погрешности можно разделить большее количество долей и отложить их на соответствующие дуги развертки. Таким способом переносятся любые точки с поверхности на ее развертку. Полученные точки соединятся плавной кривой по лекалу (рис.9.3).

Читайте также  Как оплатить штраф в налоговую

Для развертки цилиндра.

Развертка цилиндра есть прямоугольник с высотой, равной высоте образующей, и длиной, равной длине окружности основания цилиндра. Таким образом, для построения развертки прямого кругового цилиндра необходимо построить прямоугольник с высотой, равной высоте цилиндра, в нашем случае 100мм, и длиной, равной длине окружности основания цилиндра, определенной по известным формулам: C=2R=220мм, или делением окружности основания на ряд долей, как было указано выше. К верхней и нижней части полученной развертки пристраиваем основание цилиндра.

Условимся, что разрез произведен по образующей AA1 (AA1; AA1). Заметим, что разрез следует производить по характерным (опорным) точкам для более удобного построения. Учитывая, что длина развертки есть длина окружности основания цилиндра C, от точки A’=A1 разреза фронтальной проекции берем расстояние по хорде (если расстояние большое, то необходимо его разделить на доли) до точки B (в нашем примере — 17мм) и откладываем его на развертке (по длине основания цилиндра) от точки А. Из полученной точки В проводим перпендикуляр (образующую цилиндра). Точка 1 должна находиться на этом перпендикуляре) на расстоянии от основания, взятого с горизонтальной проекции до точки. В нашем случае точка 1 лежит на оси симметрии развертки на расстоянии 100/2=50мм (рис.9.4).

Рис.9.4

И так поступаем для нахождения на развертке всех других точек.

Подчеркнем, что расстояние по длине развертки для определения положения точек берется с фронтальной проекции, а расстояние по высоте — с горизонтальной, что соответствует их натуральным величинам. Полученные точки соединяем плавной кривой по лекалу (рис.9.4).

В вариантах задач, когда линия пересечения распадается на несколько ветвей, что соответствует полному пересечению поверхностей, способы построения (перенесения) линии пересечения на развертку аналогичны, описанным выше.

Развертка цилиндра

Данные для построения развертки цилиндра

Дано: Пересечение конуса и цилиндра — две пересекающиеся поверхности — поверхность прямого конуса и цилиндра — линия их пересечения.
Необходимо: Сделать развертку цилиндра и нанести на ней линию их пересечения.

В предыдущем видеоуроке «Развертка конуса» мы построили приближенную развертку конуса, вписав в конус правильную 12 гранную пирамиду. Построение развертки цилиндра также сделаем приближенно, разделив основание цилиндра на 12 частей.

Как сделать развертку цилиндра (алгоритм)

  • Строим развертку боковой поверхности цилиндра.
    • Делим основание цилиндра на 12 равных частей.
    • Измеряем хорду между двумя любыми соседними точками деления окружности основания и откладываем это расстояние по нижней стороне развертки цилиндра.
  • Пристраиваем основания цилиндра к любой образующей боковой поверхности.
  • Наносим на развертку боковой поверхности цилиндра линию пересечения конуса и цилиндра.

Построение развертки боковой поверхности цилиндра

Развертка боковой поверхности прямого цилиндра представляет из себя прямоугольник. Высота прямоугольника равна высоте цилиндра, а его длина равна длине окружности основания.

Так как нам требуется построить развертку боковой поверхности цилиндра пересекающегося с конусом, то данная развертка будет представлять из себя прямоугольник с вырезами.

Будем использовать упрощенный способ пострения развертки боковой поверхности цилиндра. Для этого разделим его основание на 12 равных частей на фронтальной плоскости проекции. Это можно сделать, вписав правильный многоугольник в окружность.

Отметим характерные точки пересечения вершин двенадцатиугольника с окружностью. На рисунке эти точки обозначены засечками-крестиками. Соединяем эти точки отрезками — хордами.

Начертите развертку боковой поверхности цилиндра, взяв высоту прямоугольника из горизонтальной плоскости проекции цилиндра. Длину прямоугольника возмите из фронтальной плоскости проекции цилиндра, которая будет равна длине 12 хорд. Измерьте длину любой хорды и отложите ее 12 раз на развертке поверхности цилиндра.

Как сделать развертку основания прямого цилиндра

Основанием прямого цилиндра является круг. Цилиндр имеет два основания: верхнее и нижнее. Следовательно возьмите радиус основания цилиндра на фронтальной или горизонтальной его плоскости проекции и присоедините его к боковой развертке цилиндра, как показано на рисунке.

Построение линии пересечения прямого цилиндра с конусом на развертке поверхности цилиндра

Так как образующие цилиндра проецируются в натуральную величину на горизонтальной плоскости проекции (цилиндр фронтально проецирующий), то мы будем брать на ней координаты точек от его основания до линии пересечения и переносить на развертку цилиндра по порядку. Нумерацию образующих цилиндра смотрите на рисунке (вы можете выбрать для себя любую последовательность снятия координат их линии пересечения для развертки цилиндра, главное не запутаться).

Я покажу принцип снятия координат нескольких точек линии их взаимного пересечения и нанесения их на боковую развертку цилиндра, остальные сделаете по подобию.

Вы уже имеете 12 образующих цилиндра, которые получили при построении его боковой развертки и по сути можете на них опираться, чтобы не запутаться в образующих цилиндра. Также уже есть характерные точки линии их пересечения на фронтальной и горизонтальной плоскости проекции, требуется только их перенести на боковую развертку поверхности цилиндра!

Определите первую крайнюю опорную точку пересеченя цилиндра с конусом. Она находится на определенном расстоянии от 3 образующей цилиндра, которое можете измерить на фронтальной плоскости проекции и отложить от 3 образующей на развертке цилиндра. Далее на его развертке чертите дополнительную образующую и откладывайте данную точку. Эта точка лежит на оси симметрии боковой поверхности цилиндра, середине образующей.

Вы можете построить дополнительную линию на развертке боковой поверхности цилиндра, которая будет делить ее пополам. Это необходимо для удобства проставления координат симметриченых точек линии пересечения цилиндра с конусом на развертке, чтобы не откладывать каждую точку от основания цилиндра, а от «оси симметрии».

Нанесите следующие точки линии их пересечения на боковую разветку цилиндра. Они лежат на определенном расстоянии от 4 образующей цилиндра и проецируются на фронтальную плоскость проекции в одну точку, так как цилиндр форонтально проекцирующий. Измерьте это расстоняение и отложите его на развертке цилиндра от 4 образующей. Проведите вспомогательную образующую на развертке. Теперь на этой образующей цилиндра необходимо проставить точки линии их пересечения координаты которых, вы можете взять на горизонтальной плоскости проекции.

Таким образом вы переносите все точки линии пересечения цилиндра и конуса на развертку поверхности цилиндра и соединяете их плавной линией.

Как сделать развертку цилиндра

Раздел 3: Чтение и выполнение чертежей (7 часов)

Урок № 17: Развёртки поверхностей геометрических тел

Ботвинников А.Д. § 28 [1]

Степакова В. В. § 31 [3]
Вышнепольский И.С. § [8]

pdf Презентация «Развёртки поверхностей геометрических тел»

pdf Длина окружности и площадь круга

pdf Развёртки многогранников и тел вращения

pdf

Возьмите карандаш и проведите на гранях куба (рис. 1) кратчайший путь из точки А в точку В.

Казалось бы, надо провести линию в переднюю вершину куба, а затем вниз по ребру. Но этот путь, увы, не кратчайший.

Развернём грани куба в одну плоскость, отметим точки А и В и соединим их прямыми, как показано на рисунке 2.

Кратчайший путь, как видим, проходит через середины ребер куба, а не через его вершины. Этот путь обозначен на рисунке 3, сплошными тонкими линиями.

Читайте также  Как создать сельскохозяйственный кооператив

Плоская фигура, полученная нами на рисунке 2, называется разверткой куба.

Развертки имеют большое применение на машиностроительных заводах, обувных фабриках, в швейных мастерских. Для изготовления кожухов машин, ограждений станков, вентиляционных устройств, трубопроводов необходимо из листового материала вырезать их развертки.

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).

Оформление чертежа развёртки

От линий сгиба на развёртке, которые проводят штрихпунктирной линией с двумя точками, проводят линии-выноски и пишут на полке «Линии сгиба». Над изображением развёртки выносят специальный знак, размеры которого изображены на рисунке 5.

Рис.5. Обозначение развёртки

Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при последовательным совмещением всех граней поверхности (многогранника) с плоскостью чертежа в последовательности их расположения на многограннике.

При построении развертки надо найти сначала истинные, натуральные размеры и форму отдельных элементов предмета на чертеже. В простейших случаях развертки можно вычертить, не пользуясь проекциями предмета. Например, для построения развертки куба достаточно знать размер одного ребра куба.

Рассмотрим построение разверток поверхности некоторых простейших тел.

Призма

Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней – прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований.

Для построения развертки прямой призмы – параллелепипеда, достаточно знать три размера: длину, ширину и высоту призмы (рис. 6).

Рис. 6. Развертка поверхности параллелепипеда

Возьмём правильную прямую шестиугольную призму (рис. 7). Все боковые грани призмы – прямоугольники, равные между собой по ширине а и высоте Н; основания призмы – правильные шестиугольники со стороной, равной а.

Рис. 7. Развертка поверхности прямой шестиугольной призмы

Так как истинные размеры граней нам известны, нетрудно выполнить построение развертки. Для этого на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания шестиугольника, т. е. . Из полученных точек восставляют перпендикуляры, равные высоте призмы Н, и через конечные точки перпендикуляров проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н х 6а) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуры оснований — два шестиугольника со сторонами, равными а. Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба — штрихпунктирной с двумя точками.

Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любой фигурой в основании.

Пирамида

Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней — равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания. Для примера представлены развёртки правильной четырехугольной пирамиды (рис. 8) и правильной пятиугольной пирамиды (рис. 9).

Рис. 8. Развертка поверхности правильной четырёхугольной пирамиды

Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как ребра граней не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому построение начинают с определения истинной величины наклонного ребра SA. Определив способом вращения (см. рис. 8) истинную длину наклонного ребра SA, равную s’a’1, из произвольной точки О, как из центра, проводят дугу радиусом s’a’1. На дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания пирамиды, которое спроецировано на чертеже в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой О. Получив развертку боковой поверхности, к основанию одного из треугольников пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.

Рис. 9. Развертка поверхности правильной пятиугольной пирамиды

Конус

Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 10).

Рис. 10. Развертка поверхности прямого кругового конуса

Построение конуса выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, радиусом R1 равным образующей конуса s’a’, очерчивают дугу окружности. В данном примере образующая, подсчитанная по теореме Пифагора (a 2 +b 2 =c 2 ), равна приблизительно 38 мм (L=√15 2 +35 2 =√1450≈ 38 мм). Затем подсчитывают угол сектора по формуле:

где R – радиус окружности основания конуса (15 мм); L – длина образующей боковой поверхности конуса (38 мм).

В данном примере α = 360°⋅15/38 ≈ 142,2°.

Этот угол строят симметрично относительно осевой линии с вершиной в точке S. К полученному сектору пристраивают круг с центром на осевой линии и диаметром, равным диаметру основания конуса.

Цилиндр

Общеизвестно также, что развертка цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая – развернутой длине окружности основания 2πR (рис. 11).

Рис. 11. Развертка поверхности прямого цилиндра

Шар

В школе на уроках географии вы пользуетесь географическими картами. На картах мира (рис. 12, а) земной шар изображается в виде кругов — восточного и западного полушария.

Но разве развертка шара – круг или, точнее, два круга?

Попытаемся развернуть и совместить с плоскостью шаровую поверхность. Сделать это без складок и разрывов не удастся. Многие геометрические фигуры легко развертываются в плоскость, а шар – нет.

Если поверхность глобуса разрезать вдоль меридианов на маленькие дольки (сегменты) и выпрямить их, то в каждой из этих выпрямленных долек мы можем не заметить никаких видимых искажений. Но развертку мы получим с разрывом (рис. 12, б).

Рис. 12. Географическая карта

Именно такие «дольки» нарезают по контуру и наклеивают одну возле другой на поверхность школьного глобуса. Присмотритесь к глобусу, и вы убедитесь, что это так.

Чтобы получить карту без разрыва, приходится допускать некоторые неточности, которые сводятся к искажению направлений, расстояний и площадей, неодинаковых в разных частях карты.

Развёртки некоторых правильных многогранников представлены на рисунке 13: а) куб, б) тетраэдр, в) октаэдр, г) икосаэдр и д) додекаэдр.

Рис. 13. Развёртки геометрических тел

Практические задания, тесты и домашние работы

Графическая работа

Вопросы для повторения

pdf Вопросы

Домашняя работа

pdf Найди развёртку

pdf Найди кубик

pdf Перестарались!

pdf Развёртки куба

pdf Пакет для молока

pdf Угадай-ка

pdf Развертка детали

pdf Объём банки

pdf Чертёж по развёртке

pdf

Построение разверток поверхностей геометрических тел

При построении разверток многогранников придется находить действительную величину ребер и граней этих многогранников с помощью вращения или перемены плоскостей проекций. При построении приближенных разверток для неразвертывающихся поверхностей придется заменять участки последних близкими к ним по форме развертывающимися поверхностями.

Для построения развертки боковой поверхности призмы (рис. 170) считают.что плоскость развертки совпадает с гранью AADD призмы; с этой же плоскостью совмещают другие грани призмы, как это показано на рисунке. Грань ССВВ предварительно совмещают с гранью ААВВ. Линии сгибов в соответствии с ГОСТ 2.303—68 проводят тонкими сплошными линиями толщиной s/3-s/4. Точки на развертке принято обозначать теми же буквами, как и на комплексном чертеже, но с индексом 0 (нулевое). При построении развертки прямой призмы по комплексному чертежу (рис. 171, а) высоту граней берут с фронтальной проекции, а ширину — с горизонтальной. Развертку принято строить так, чтобы к наблюдателю была обращена лицевая сторона поверхности (рис. 171, б). Это условие важно соблюдать потому, что некоторые материалы (кожа, ткани) имеют две стороны: лицевую и оборотную. К одной из граней боковой поверхности пристраивают основания призмы ABCD.

Читайте также  Как отключить перезагрузку

Если на поверхности призмы задана точка 1, то на развертку ее переносят с помощью двух отрезков, помеченных на комплексном чертеже одним и двумя штрихами, первый отрезок С1l1 откладывают вправо от точки С0, а второй отрезок — по вертикали (к точке l0).

Если на поверхности цилиндра задана точка А, например между 1 и 2-й образующими, то ее место на развертке находят с помощью двух отрезков: хорды, отмеченной утолщенной линией (правее точки l1), и отрезка, равного расстоянию точки А от верхнего основания цилиндра, помеченного на чертеже двумя штрихами.

Значительно труднее построение развертки пирамиды (рис. 174, а). Ее ребра SA и SC являются прямыми общего положения и проецируются на обе плоскости проекций искажением. Прежде чем строить развертку, необходимо найти действительную величину каждого ребра. Величину ребра SB находят путем построения его третьей проекции, поскольку это ребро параллельно плоскости П3. Ребра SA и SC вращают вокруг горизонтально-проецирующей оси, проходящей через вершину S настолько, чтобы они стали параллельными фронтальной плоскости проекций П, (таким же способом может быть найдена действительная величина ребра SB).

После такого вращения их фронтальные проекции S2A2 и S2C2 будут равны действительной величине ребер SA и SC. Стороны основания пирамиды, как горизонтальные прямые, без искажения проецируются на плоскость проекций П1. Имея три стороны каждой грани и пользуясь способом засечек, легко построить развертку (рис. 174, б). Построение начинают с передней грани; на горизонтальной прямой откладывают отрезок AС=A1C1, первую засечку делают радиусом AS — A2S2 вторую — радиусом CS = = G2S2; в пересечении засечек получают точку S„. Принимают заказу сторону AS; из точки A делают засечку радиусом AВ=A1B1 из точки S делают засечку радиусом SB=S3B3; в пересечении засечек получают точку В. Аналогично к стороне SG пристраивают грань SBC. В заключение, к стороне AС пристраивают треугольник основания AGS. Длины сторон этого треугольника можно взять непосредственно с развертки, как показано на чертеже.

Развертку конуса вращения строят так же, как и развертку пирамиды. Делят окружность основания на равные части, например на 12 частей (рис. 175, а), и представляют, что в конус вписана правильная двенадцатиугольная пирамида. Первые три грани показаны на чертеже. Разрезают поверхность конуса по образующей S6. Как известно из геометрии, развертка конуса изображается сектором круга, у которого радиус равен длине образующей конуса l. Все образующие кругового конуса равны, поэтому действительная длина образующей l равна фронтальной проекции левой (или правой) образующей. От точки S (рис. 175, б) по вертикали откладывают отрезок 5000 =l. Этим радиусом проводят дугу окружности. От точки O откладывают отрезки Оl= O1l1, 12 = 1121 и т. д. Отложив шесть отрезков, получают точку 60, которую соединяют с вершиной S0. Аналогично строят левую часть развертки; снизу пристраивают основание конуса.

Если требуется нанести на развертку точку В, то проводят через нее образующую SB (в нашем случае S2), наносят эту образующую на развертку (S2); вращая образующую с точкой В вправо до совмещения ее с образующей S3 (S252), находят действительное расстояние S2B2 и откладывают его от точки S. Найденные отрезки помечены на чертежах тремя штрихами.

Если на развертке конуса не требуется наносить точки, то она может быть построена быстрее и точнее, поскольку известно, что угол сектора развертки a=360°R/l радиус окружности основания, а l — длина образующей конуса.

Урок 9 класс «Развертка цилиндра»

Урок в 9 классе

Тема : Развертка цилиндра

Цель : расширить понятие о цилиндре, его свойствах, воспроизвести в памяти образ цилиндра и его развертки, уметь выполнять развертку цилиндра. Формировать навыки измерения, черчения, навыки умственных действий.

Оборудование : чертежные принадлежности, модели геометрических тел, развертка цилиндра, таблица «Где мы встречаемся с моделью цилиндра в жизни»

На учительском столе модели изученных геометрических тел : куб, параллелепипед. Назвать данные геометрические тела. Какого изученного геометрического тела не хватает? (цилиндра)

Показ модели цилиндра, повторение его элементов

(высота, основания, боковая поверхность). Правописание слова ц и линдр.

Сегодня на уроке мы с вами будем выполнять (закрепим ) алгоритм построения развертки цилиндра. Какими чертежными инструментами мы будем пользоватся? (карандаш, линейка, циркуль) Обратить внимание ребят на правописание слова ц и ркуль, техника безопасности при пользовании циркулем (таблица)

На предыдущем уроке мы с вами выполняли развертку цилиндра. Что из себя представляет развертка цилиндра?

Демонстрация развертки цилиндра учащимся.(модель цилиндра развернуть.

— две окружности (основания)

— прямоугольник (боковая поверхность)

Значит, чтобы выполнить развертку цилиндра, какие данные для этого нужны?

* чтобы построить основания надо знать радиус окружности

* для построения боковой поверхности (прямоугольник надо знать высоту цилиндра = высота прямоугольника, длину прямоугольника = длине окружности.

— Как вычислить длину окружности?

П= 3.14 – постоянное число,

R – радиус окружности

Вычислить длину окружности, если R =1см, 2 мм, 5см.

(работа по таблицам). Вспоминаем правило умножения десятичной дроби на целое число.

Итак, можем ли мы построить развертку цилиндра сейчас с вами? (можем)

Какие данные нам нужны? (высота цилиндра и радиус основания)

Обратить внимание ребят на алгоритм построения развертки цилиндра

Анализ построения

Верхнее основание (окружность радиусом 1 см.

Боковую поверхность – прямоугольник

длина основания С= 2 ∙ П ∙ R ,

С = 2 ∙ 3,14 ∙ 1 = 6,14.

Значит , длина прямоугольника равна 6 см.

Боковая поверхность прямоугольник со сторонами 6см. и 3см.

Нижнее основание – окружность радиусом 1см.

П О С Т Р О Е Н И Е

Строим верхнее основание – окружность радиусом 1см.

Пристраиваем прямоугольник к окружности со сторонами 3см, 6см

Пристраиваем к прямоугольнику нижнее основание – окружность радиусом 1см.

Молодцы! Сегодня мы с вами ведем речь о цилиндре и его развертке. Назовите предметы , имеющие форму цилиндра (кусок трубы, проволоки, банка консервы,…)

Ребята, а где используются цилиндрические формы в практике? (цилиндры имеются в машинах…. используют архитекторы для украшения зданий – фасады зданий — колонны, которые служат для вертикальной поддержки зданий – показ картинки, строят мечети , которые имеют цилиндрическую форму. ( а рх и тектор – строительная специальность, выполняет план строящихся зданий), изготавливают малярные валики.

Мы сейчас строим Снежный городок. Каркас Деда Мороза и Снегурочки можно было выполнить из трубы . Отходов бы было намного меньшее и быстрее бы сделали и Снегурочку и Деда мороза, но так как нет у нас такой трубы , поэтому мы строим данные фигуры другим способом.

Итак, ребята давайте еще раз повторим как выполняем построение развертки цилиндра (Ответы ребят)

Приступаем к выполнению самостоятельной работы

R = 1 см. 2. R = 2 см 3. R = 1 см

Н = 3см Н = 4см Н = 5см

И Т О Г У Р О К А

Сегодня на уроке мы что выполняли?

Что надо знать , чтобы выполнить построение развертки цилиндра?

Этапы построения развертки цилиндра

Домашнее задание : Построить развертку цилиндра, если радиус оснований 1 см, высота цилиндра 6см.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: