Как решить функцию f x

Алгебра. Урок 5. Графики функций

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Декартова система координат
  • Функция

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно : это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции ( функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y ). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Парабола

Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола .

Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :

  1. Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
  • Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
  • Если a 0 , ветки параболы направлены вниз.
  1. Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y .
  2. Коэффициент b помогает найти x в – координату вершины параболы.
  1. Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
  • Если D > 0 – две точки пересечения.
  • Если D = 0 – одна точка пересечения.
  • Если D 0 – нет точек пересечения.

Гипербола

Графиком функции y = k x является гипербола .

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

0″ height=»346″ width=»346″ sizes=»(max-width: 346px) 100vw, 346px» data-srcset=»/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png 346w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-150×150.png 150w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-300×300.png 300w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-176×176.png 176w,/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1-60×60.png 60w, https://epmat.ru/wp-content/uploads/2017/01/Гипербола-1.png»>

Если k 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Квадратный корень

Функция y = x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

Функция y = f ( x ) возрастает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y = f ( x ) убывает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции , находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции , находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Как решать задачи на функцию

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок «Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция (возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой « y = 2x − 1 »

  1. Вычислить « y » при « x = 15 »
  2. Найти значение « x », при котором значение « y » равно « −19 ».

Для того, чтобы вычислить « y » при « x = 15 » достаточно подставить в функцию вместо « x » необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

Для того, чтобы найти « x » по известному « y », необходимо подставить вместо « y » в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска « x » мы подставляем в функцию « y = 2x − 1 » вместо « y » число « −19 » .

Мы получили линейное уравнение с неизвестным « x », которое решается по правилам решения линейных уравнений.

Не забывайте про правило переноса в уравнениях.

При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на противоположный .

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас требуется умножить и левую, и правую часть на « −1 » для смены знака.

Теперь разделим и левую, и правую часть на « 2 », чтобы найти « x » .

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание. Функция задана формулой « f(x) = 2 − 5x ».

Верно ли равенство « f(−2) = −18 »?

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию « f(x) = 2 − 5x » числовое значение « x = −2 » и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Когда подставляете отрицательное число вместо « x », обязательно заключайте его в скобки.

Не забывайте использовать правило знаков.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили « f(−2) = 12 ».

Это означает, что « f(−2) = −18 » для функции « f(x) = 2 − 5x » не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию « y = x 2 −5x + 6 »

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами (1; 2) .

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Чтобы определить, принадлежит ли точка функции, достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси « Ox » вместо « x » и координату по оси « Oy » вместо « y »).

Если получится верное равенство , значит, точка принадлежит функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию « y = x 2 − 5x + 6 » координаты точки (1; 2) .

Вместо « x » подставим « 1 ». Вместо « y » подставим « 2 ».

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами (1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1) . Принадлежит ли она
функции « y = x 2 − 5x + 6 »?

Вместо « x » подставим « 0 ». Вместо « y » подставим « 1 ».

В этом случае мы не получили верное равенство. Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции « y = x 2 − 5x + 6 »

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию « y(x) = −2x + 1 ». Её график мы уже строили в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции « y(x) = −2x + 1 », чему равен « y » при x = 2 .

Для этого из значения « 2 » на оси « Ox » проведем перпендикуляр к графику функции. Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси « Oy ».

Полученное значение « −3 » на оси « Oy » и будет искомым значением « y ».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции « y(x) = −2x + 1 ».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции « y(x) = −2x + 1 ». Если мы правильно провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3 .

При расчетах мы также получили y = −3 .

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте подстановкой значений « x » в функцию.

Читайте также  Как развить в себе способности телекинеза

При подстановке числового значения « x » в функцию в результате должно получиться то же значение « y », которое вы получили на графике.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

График функции.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х, а на оси ординат — значения функции у = f (х).

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) — это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x).

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 — 2х.

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x), то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 — 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 — 2х принимает положительные значения при х 2, отрицательные — при 0 2 — 2х принимает при х = 1.

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению y = f(x). В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно — с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений — скажем, х1, х2, x3 . хk и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:

Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x). Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1. Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:

Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x)|, где f(х) — заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х), у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x), имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x), которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х).

Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х 2 — 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 — 2x. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 —2х|, исходя из графика функции у = х 2 — 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x).

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f

Пусть точки , y1) и , у2) соответственно принадлежат графикам функций y = f и y = g(х), т. е. y1 = f(x), y2 = g(х). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х) + g(x) = y1 +y2),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x). и y = g(х) заменой каждой точки (хn, у1) графика функции y = f(x) точкой n, y1 + y2), где у2 = g(xn), т. е. сдвигом каждой точки (хn, у1) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y1 = g(хn). При этом рассматриваются только такие точки хn для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x).

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4. На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx.

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, —, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Читайте также  Как сделать из cd-привода лазер

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

  • Контрольная работа от 1 дня / от 120 р. Узнать стоимость
  • Дипломная работа от 7 дней / от 9540 р. Узнать стоимость
  • Курсовая работа 5 дней / от 2160 р. Узнать стоимость
  • Реферат от 1 дня / от 840 р. Узнать стоимость

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Задание 9 ЕГЭ по математике. Графики функций

В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №9 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

Как формулируется задание 9 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

Вот необходимая теория для решения задания №9 ЕГЭ.

Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 9 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

Рекомендации:

Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)

Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

Задание 9 в формате ЕГЭ-2021

Линейная функция

1. На рисунке изображён график функции . Найдите значение , при котором

Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:

Вычтем из первого уравнения второе:

Уравнение прямой имеет вид:

Найдем, при каком значение функции равно -13,5.

2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Запишем формулы функций.

Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция

Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции

Вычтем из первого уравнения второе.

Прямая задается формулой:

Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).

Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен

Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: эта прямая задается формулой

Для точки пересечения прямых:

Квадратичная функция. Необходимая теория

4. На рисунке изображен график функции Найдите b.

На рисунке — квадратичная парабола полученная из графика функции сдвигом на 1 вправо, то есть

5. На рисунке изображен график функции . Найдите с.

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при положительный. График сдвинут относительно графика функции на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид .

6. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:

Формула функции имеет вид:

7. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Найдем a, b и c в формуле функции . График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому

График функции проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:

Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:

(это абсцисса точки A) или (это абсцисса точки B).

Степенные функции. Необходимая теория

8. На рисунке изображены графики функций и , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

График функции проходит через точку (2; 1); значит,

График функции проходит через точки (2; 1) и (1; -4), — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда

Для точек A и B имеем:

Отсюда (абсцисса точки A) или (абсцисса точки B).

9. На рисунке изображён график функции . Найдите f (6,76).

Функция задана формулой:

Ее график проходит через точку (4; 5); значит,

10. На рисунке изображен график функции . Найдите .

График функции на рисунке симметричен графику функции относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: , а = — 1. Тогда =5.

Показательная функция. Необходимая теория

11. На рисунке изображён график функции Найдите

Читайте также  Как сделать рацию своими руками

График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции получим:

Поделим второе уравнение на первое:

Подставим во второе уравнение:

12. На рисунке изображен график функции . Найдите

График функции проходит через точку Это значит, что

формула функции имеет вид: .

Логарифмическая функция. Необходимая теория

13. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

Вычтем из второго уравнения первое:

или — не подходит, так как (как основание логарифма).

14. На рисунке изображен график функции .

График логарифмической функции на рисунке проходит через точки и . Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:

Тригонометрические функции. Необходимая теория

15. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции сдвинут на 1,5 вверх; Значит, Амплитуда (наибольшее отклонение от среднего значения).

Это график функции Он получен из графика функции растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на .

16. На рисунке изображён график функции

На рисунке — график функции Так как

График функции проходит через точку A Подставим и координаты точки А в формулу функции.

Так как получим:

17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения

Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то

Пользуясь периодичностью функции , период которой T = 4, получим:

Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 9 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

  • О компании
  • Новости
  • Преподаватели
  • Достижения
  • Истории успеха
  • Отзывы
  • Социальные инициативы
  • Гарантии возврата средств
  • Свидетельства
  • Политика конфиденциальности
  • Бесплатные материалы
  • Для франчайзи
  • Для инвесторов
  • Для СМИ
  • Вакансии

Наш онлайн-курс по Физике

Все темы ЕГЭ с нуля

Можно не только читать, но и смотреть новые объяснения и разборы на нашем YouTube канале!

Пожалуйста, подпишитесь на канал и нажмите колокольчик, чтобы не пропустить новые видео

Задавайте свои вопросы в комментариях и оставляйте задачи, которые вы хотите, чтобы мы разобрали.

Мы обязательно ответим!

Мы заметили, что Вы регулярно пользуетесь нашими материалами для подготовки по физике.

Результат будет выше, если готовиться по отработанной методике.

У нас есть онлайн-курсы как для абитуриентов, так и для преподавателей.

Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства.

теория по математике 📈 функции

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом. Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.

График функции у=k/x выглядит следующим образом: По данному рисунку видно, что нулей функции не существует. Как найти нули функции?

  1. Для того чтобы найти нули функции, которая задана формулой, надо подставить вместо у число нуль и решить полученное уравнение.
  2. Если график функции дан на рисунке, то ищем точки пересечения графика с осью х.

Рассмотрим примеры нахождения нулей функции. Пример №1. Найти нули функции (если они существуют):

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11

Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

б) Аналогично во втором случае. Подставляем вместо у число 0 и решаем уравнение вида 0=(х + 76)(х – 95). Вспомним, что произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Таким образом, так как у нас два множителя, составляем два уравнения: х + 76 = 0 и х – 95 = 0. Решаем каждое, перенося числа 76 и -95 в правую часть, меняя знаки на противоположные. Получаем х = – 76 и х = 95. Значит, нули функции это числа (-76) и 95.

в) в третьем случае: если вместо у подставить 0, то получится 0 = – 46/х, где для нахождения значения х нужно будет -46 разделить на нуль, что сделать невозможно. Значит, нулей функции в этом случае нет.

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

Рассмотрим по нашему рисунку, на какие промежутки разбивается область определения данной функции [-3; 7] ее нулями. По графику видно, что это 4 промежутка: [-3; -1), (-1;4), (4; 6) и (6; 7]. Помним, что значения из области определения смотрим по оси х.

На рисунке синим цветом выделены части графика в промежутках [-3; -1) и (4; 6), которые расположены ниже оси х. Зеленым цветом выделены части графика в промежутках (-1;4) и (6; 7], которые расположены выше оси х.

Значит, что в промежутках [-3; -1) и (4; 6) функция принимает отрицательные значения, а в промежутках (-1;4) и (6; 7] она принимает положительные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

Функция принимает положительные значения в промежутках [-2; -1) и (3; 8). Обратите внимание, что эти части на рисунке выделены зеленым цветом.

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

На графике видно, что с увеличением значения х от -3 до 2 значения у тоже увеличиваются. Также с увеличением значения х от 5 до 7 значения у опять увеличиваются. Проще говоря, слева направо график идет вверх (синие линии). То есть в промежутках [-3; 2] и [5; 7] функция у=f(x) является возрастающей.

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: