Как построить спираль

Как начертить правильную спираль

Спиралью называется плоская кривая, описываемая точкой, удаляющейся от центра при совершении кругового движения в плоскости чертежа вокруг центра спирали. На практике различают спирали с постоянным и постепенно возрастающим расстоянием между завитками. Обычно спирали строят по точкам и вычерчивают с помощью лекала.

Для того чтобы расчертить спираль, необходимо наметить не менее двух ее центров. Если вычерчивают спираль из трех или более центров, то обычно центрами спирали являются вершины правильного треугольника или правильного многоугольника. Каждую дугу проводят из последующей вершины до пересечения с лучом из угла треугольника или многоугольника. Радиус при этом каждый раз увеличивается на длину, равную длине стороны треугольника или многоугольника.

Рассмотрим, например, как начертить так называемую «архимедову спираль» (рис. 17, а ). Для этого нужно провести горизонтальную линию и отметить на ней две точки О 1 и О 2, отстоящие одна от другой примерно на 3 мм. Поставив ножку циркуля в одну из этих точек (О 1), проведите дугу радиусом 3 мм (R 1), равную половине окружности. Концы этой дуги должны опираться на горизонтальную ось (в данном примере – сверху).

Затем перенесите ножку циркуля во вторую из отмеченных точек и увеличьте его раствор так, чтобы карандаш попал в конец первой дуги. Снова проведите половину окружности радиусом R 2, опирающуюся на горизонтальную линию, но уже с противоположной стороны (снизу). Таким же образом, переставляя ножку циркуля то в первую, то во вторую точку и каждый раз увеличивая его раствор, продолжайте разворачивать спираль. На рис. 17, а , изображено четыре полных оборота.

Для построения спирали, имеющей три центра (рис. 17, б), находящихся на равных расстояниях один от другого, необходимо предварительно построить равносторонний треугольник 1–2–3 (заштрихован) и продолжить его стороны так, как это показано на рисунке (линии 1–1’, 2–2’ и 3–3’ ).

Из центра 1 проводим дугу 3–1’ радиусом R 1, равным длине стороны треугольника, до пересечения с продолжением стороны 1–1’ . Затем из центра 2 описываем дугу радиусом R 2 = 2R 1 до пересечения с продолжением стороны 2 (линия 2–2’ ). После этого из центра 3 проводим дугу радиусом R 3 = 3R 1 до пересечения с продолжением стороны 3 (линия 3–3’ ) в точке 3’ . После этого возвращаемся в центр 1 и продолжаем построение в такой же последовательности, каждый раз увеличивая радиус дуги на величину стороны треугольника.

Рис. 17. Построение спиралей: а – «архимедова спираль» с двумя центрами; б – трехцентровая спираль; в – эвольвента круга; г, д – ломаные (хордовые) спирали.

Аналогично выполняют спирали с четырьмя, пятью и т. д. центрами.

Эвольвента круга (рис. 17, в ) – это плоская кривая, образуемая точкой на прямой, которая перемещается без скольжения по неподвижной окружности заданного радиуса. Эта кривая иногда называется разверткой окружности. Построение эвольвенты начинается с деления заданной окружности на произвольное число равных частей, например 12. В каждой точке деления проводим касательные к окружности. На каждой из этих касательных последовательно откладываем длину окружности, равную πd /12: в точке 1 – πd /12, в точке 2 – 2πd /12, в точке 3 – 3πd /12 и т. д. На касательной к точке 12 откладываем длину окружности, равную πd . Соединяя последовательно плавной кривой по лекалу полученные на касательных точки 1’, 2’, 3’ и т. д., получим кривую, называемую эвольвентой.

Схема построения ломаных спиралей показана на рис. 17, г, д . Они строятся так же, как и циркульные, но дуги заменяются соответствующими хордами.

Золотая спираль или спираль Фибоначчи — логарифмическая спираль, коэффициент роста которой равен φ 4 , где φ — золотое сечение. Коэффициент роста логарифмической спирали показывает во сколько раз изменился полярный радиус спирали при повороте на угол 360°. [1] Свое название эта спираль получила из-за связи с последовательностью вложенных друг в друга прямоугольников с отношением сторон, равным φ , которые принято называть золотыми. Золотую спираль можно как вписать в систему таких прямоугольников, так и описать вокруг нее. Популярность золотая спираль приобрела из-за того, что известная с начала XVI века и применяющаяся в искусстве [2] спираль, построенная по методу Дюрера [3] [4] , оказалась хорошей аппроксимацией для золотой спирали (см. рисунок)

Содержание

Формула [ править | править код ]

Уравнение для золотой спирали в полярной системе координат то же самое, что и для других логарифмических спиралей, но со специальным значением коэффициента роста – φ 4 :

r = a φ ± 2 θ π >> ,

где a — произвольная положительная вещественная константа, а φ = 5 + 1 2 >+1> >> — золотое сечение.

Основное свойство логарифмической спирали: угол между радиус-вектором, исходящим из полюса, и касательной к спирали – μ – постоянен, и для золотой спирали определяется формулой:

tg ⁡ μ = r r ′ = π 2 ln ⁡ φ mu = , где r ′ =”” d r d θ >> .

Откуда μ ≈ 73 ∘ > .

Приближения золотой спирали [ править | править код ]

Существует несколько похожих спиралей, которые близки, но не совпадают в точности с золотой спиралью [5] , с которой их часто путают.

Как уже было написано выше, при вписывании золотой спирали в последовательность вложенных друг в друга золотых прямоугольников, она аппроксимируется спиралью, построенной по методу Дюрера. Золотой прямоугольник можно разделить на квадрат и подобный ему прямоугольник, его, в свою очередь, разделить тем же образом, и продолжать этот процесс произвольное число раз. Если в эти квадраты вписать соединенные между собой четвертинки окружностей, то получается спираль, изображенная на первом рисунке.

Ещё одной аппроксимацией является спираль Фибоначчи, которая строится подобно вышеописанной спирали, за исключением того, что начинают с прямоугольника из двух квадратов и добавляют потом к большей стороне прямоугольника квадрат такой же длины. Поскольку отношение между соседними числами Фибоначчи стремится к золотой пропорции, спираль всё больше приближается к золотой спирали по мере добавления квадратов (см. второй рисунок).

Спирали в природе [ править | править код ]

В природе встречаются приближения к логарифмическим спиралям с коэффициентом роста равным φ k . Так раковины моллюсков Nautilus pompilius и окаменелых аммонитов хорошо описываются при k = 2, а раковины некоторых улиток при k = 1. [6] Отношение длин трех витков спирали уха у человека равно φ [7] , что соответствует спирали с k = 1. Рукава спиральных галактик, несмотря на существующие утверждения [8] , если и описываются логарифмической, то не золотой спиралью. В данном случае, описание ею является проявлением случайной близости. Недавний анализ спиралей, встречающихся в роговичном эпителии мышей, показал, что там встречаются как золотая, так и другие логарифмические спирали. [9]

Построение спирали Архимеда.

Спираль Архимеда – это траектория точки, движущейся с постоянной скоростью от центра окружности по

радиусу, вращающемуся также с постоянной угловой скоростью.

1. Делим радиус окружности на одинаковое число равных частей (в примере на 8).

2. Делим окружность на такое же число равных частей.

3. Проводим лучи из центра через точки деления окружности.

4. На первом луче откладываем одно деление радиуса.

5. На втором луче откладываем два деления радиуса и т. д.

6. Если строить спираль дальше, то на луче 1 откладываем 8+1 деление радиуса (получаем точку IX ).

7. На втором луче откладываем 8+2 деления радиуса (получаем точку X) .

8. На третьем луче откладываем 8+3 деления радиуса (получаем точку XI) и т. д.

Соединяем точки по лекалу.

Спираль. Спираль Архимеда. Построение спирали Архимеда.

Спираль Фибоначчи: фото, построение спирали Фибоначчи

Природа всегда решает задачи самым простым и элегантным путем, какой только можно придумать. Золотое сечение, или, по-другому, спираль Фибоначчи, является наглядным отражением гениальности этих решений.

Следы этой пропорции обнаруживают в древних строениях и великих картинах, человеческом теле и небесных объектах. Вот уже несколько веков Золотое сечение и коэффициент Фи находятся под пристальным вниманием ученых различных областей.

«Сын счастливчика»

Именно так, по мнению ученых, можно назвать Леонардо Пизанского по прозвищу Фибоначчи. Это прозвище означает, что он — сын Боначчи («Боначчи» переводится как «счастливчик»). Весьма забавный факт, учитывая, скольких людей он сделал счастливыми косвенно, способствуя развитию математики, экономики и других областей знаний, в которых сейчас широко используется его открытие.

Этот средневековый итальянец внес настолько большой вклад в развитие современной науки, что переоценить его очень сложно. Ежедневно все большее количество научных исследований только подтверждает принцип, который он наглядно показал всему миру в виде цифр.

Леонардо Пизанский знаменит тем, что представил свой последовательный ряд чисел, который постоянно стремится к золотому сечению.

Читайте также  Как прощаться по-английски

Золотое сечение

Это пропорция, которую можно графически изобразить в качестве отрезка, разделенного точкой на две части. Самое главное правило деления: весь отрезок относится к его большей части так же, как большая часть относится к меньшей.

То есть точка разделит отрезок таким образом, что если разделить всю длину (сумму частей) на величину большей части, получим то же число, что и при делении большей части на меньшую.

В результате деления всегда получается один и тот же результат — 1,618. Он получил название коэффициента Фи.

Числа Фибоначчи

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и далее — именно эти цифры играют огромную роль в науке вот уже несколько веков.

Их назвали «ряд Фибоначчи» или «числа Фибоначчи». Самым главным свойством последовательности является то, что каждое новое число равно сумме двух предыдущих. Отражением именно этой последовательности стала так называемая золотая спираль Фибоначчи. Это она принесла ему большую известность.

Но мало кто знает, что на одной лишь спирали Фибоначчи вклад ученого не завершился. Этот средневековый математик научил Европу использовать в математике арабские цифры, что значительно ускорило развитие науки. Удивительно, но до написания им трактата об арабских цифрах вся Европа пользовалась исключительно римской системой.

Кто знает, как развивалась бы наука, если бы не его светлый ум.

Коэффициент «Фи»

Самое главное число в золотом сечении — 1,618. Присутствует оно и в последовательности Фибоначчи. Именно к этому коэффициенту стремится отношение каждого следующего числа к предыдущему. Вот почему открытие ряда Фибоначчи так повлияло на все научное сообщество. С появлением математического точного выражения человечество получило способ применять один из самых важных законов окружающего мира в новых изобретениях и исследованиях.

Это совершенное число, золотая середина и гениальное решение, которое повсеместно использует сама природа.

Популярность сквозь века

Первое упоминание принципа золотого сечения появилось еще во времена Пифагора. С тех пор ученые всегда наблюдали за этой пропорцией, изучали ее и строили разного рода догадки и предположения.

В современном мире это явление получило широкую огласку после выхода на экран фильма «Код да Винчи». В этой картине создатели фильма обратили внимание широкой аудитории на то, что золотое сечение используется и встречается повсюду. Там было упомянуто, что пропорция соблюдается везде, даже в человеческом теле. И естественно, множество людей тут же заинтересовалось этой темой. Интерес к золотому сечению, возникший благодаря этому фильму, не стихает до сих пор. Интернет заполнило огромное количество «живых» спиралей Фибоначчи на фото: волны, циклоны, растения, моллюски. Все эти снимки раз за разом показывают красоту одного из самых главных законов природы.

Как построить спираль Фибоначчи

Вполне логично, что узнав так много про этот замечательный «завиток», кому-то наверняка захочется собственноручно создать его аналог.

Сделать это достаточно просто. Достаточно иметь под рукой циркуль и тетрадь в клеточку или миллиметровую бумагу (либо линейку, которая поможет построить симметричные, аккуратные квадраты).

Начать построение спирали Фибоначчи нужно с изображения двух одинаковых квадратов с длиной стороны в одну единицу длины. Дуга, соединяющая два противоположных угла первого квадрата, и станет началом золотой спирали. По мере раскручивания последней к ней присоединяется все большее количество пропорциональных фигур, до тех пор, пока не будет достигнут нужный размер спирали. Самое важное – соблюдать правило, где длина стороны каждого следующего квадрата всегда равна сумме длин сторон двух предыдущих.

Золотой прямоугольник

Идеальный, с точки зрения спирали Фибоначчи, прямоугольник имеет стороны, длина которых пропорциональна друг к другу именно по коэффициенту фи. Иными словами, при делении одной стороны на другую обязательно должно получиться 1,618 либо 0,618 (число, обратное коэффициенту фи).

Такие прямоугольники довольно распространены в архитектуре и композиции. Интересно также то,что именно их большинство людей считают «идеальными» или «правильными» с визуальной точки зрения. Иными словами, человек интуитивно воспринимает эти пропорции более красивыми и естественными, приятным глазу. Даже если дело касается геометрических фигур.

В искусстве

Если отметить точками или линиями основные элементы в картинах и поделить полотно на множество мелких прямоугольников Фибоначчи, то можно заметить интересный факт. На огромном количестве произведений искусства фигуры размещены таким образом, что явные контрасты и важные элементы непременно будут находиться на гранях прямоугольников или располагаться непосредственно на самой спирали Фибоначчи.

Более того, уважающие себя современные архитекторы и дизайнеры тоже верны этому принципу. И в этом нет ничего удивительного. Спираль отражает закон самой природы, а она – гениальный творец.

Несколько поразительных и интересных фактов

  • Совсем недавно в социальных сетях даже была определенного рода мода на снимки девушек, которые откидывают волосы в воде, получая множество красивых брызг в форме спирали Фибоначчи.
  • Многие трейдеры считают принцип очень значимым, основывая на числах ряда Фибоначчи стратегии по продаже и покупке валюты.
  • Соотношение пиков кардиограммы также попадает под действие золотого сечения.
  • В металлургии давно известен факт, что сплавы различных металлов обладают лучшими свойствами стойкости, если удельный вес элементов относится друг к другу согласно коэффициенту Фи.
  • Пропорции различных веществ в гемоглобине подчинены этому закону.
  • Существует даже официально зарегистрированный Институт золотого сечения.
  • Помимо прямого коэффициента фи, существует еще обратно пропорциональное ему число 0,618, которое тоже часто используется в различных расчетах.

Все основополагающие знания человечество получило, наблюдая за миром вокруг. Раз за разом люди отмечали закономерности в смене сезонов, находили взаимосвязь между громом и молнией, изучали звезды и создавали календари.

Закон золотого сечения находится совсем на поверхности. И спирали Фибоначчи в природе, как отражение принципа, которому соответствует все живое, встречаются в огромном количестве явлений, в растительном и животном мирах.

Именно так, по принципу золотого сечения, наиболее гармонично развиваются живые организмы. Каждый следующий шаг — лишь сумма двух предыдущих. Каждый следующий виток спирали нарастает постепенно, раскрываясь все больше, но повторяя общее направление.

Это один из самых великих законов мироздания.

Как построить параметризированную геометрию спирали Архимеда

Спирали Архимеда широко используются при построении геометрий для катушек индуктивности, спиральных теплообменников и микрогидродинамических устройств. В этой заметке мы покажем, как построить спираль Архимеда, используя аналитические выражения и их производные для задания необходимых кривых. Сначала мы создадим двухмерную геометрию, а затем, задав нужную толщину, преобразуем её в трёхмерную с помощью операции Extrude (Вытягивание).

Что такое спираль Архимеда?

Широко распространённые в природе спирали или завитки используются во многих инженерных конструкциях. Например, в электротехнике и электронике с помощью проводников спиралевидной формы наматывают катушки индуктивности или проектируют геликоидные антенны. В машиностроении спирали используются при проектировании пружин, косозубых цилиндрических передач или даже механизмов часов, один из которых изображён ниже.


Пример спирали Архимеда, которая используется в часовом механизме. Изображение представлено Greubel Forsey. Доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 из Wikimedia Commons.

В данной статье мы разберём только один вид спирали, а именно, спираль Архимеда, которая изображена в механизме выше. Спираль Архимеда – это особый вид спирали с постоянным расстоянием между витками. Благодаря этому свойству она широко распространена при проектировании катушек и пружин.

Уравнение спирали Архимеда в полярной системе координат записывается, как:

где a и b — параметры, определяющие начальный радиус спирали и расстояние между витками, которое равно 2 pi b . Обратите внимание, что спираль Архимеда также иногда называют арифметической спиралью. Это имя связывают с арифметической зависимостью расстояния от начала кривой до точек спирали, находящихся на одной радиальной линии.

Задание параметризированной геометрии спирали Архимеда

Теперь, когда вы уже знаете, что такое спираль Архимеда, давайте приступим к параметризации и созданию геометрии в COMSOL Multiphysics.


Спираль Архимеда может быть задана как в полярных, так и в декартовых координатах.

Для начала необходимо преобразовать уравнение спирали из полярной системы координат в декартову и выразить каждое уравнение в параметрической форме:

После преобразования уравнения спирали в параметрической форме в декартовой системе координат примут вид:

В COMSOL Multiphysics необходимо определить набор параметров, с помощью которых будем задавать геометрию спирали. В нашем случае — это начальный и конечный радиусы спирали a_ и a_ , соответственно, и количество витков n . Показатель роста спирали b находится, как:

Также необходимо определить начальный и конечный углы спирали — theta_0 и theta_f , соответственно. Давайте с них и начнём — theta_0=0 и theta_f=2 pi n . Исходя из заданной информации, определяем параметры для построения геометрии спирали.

Читайте также  Как посчитать площадь треугольника


Параметры, которые используются для построения геометрии спирали.

Начнём наше построение, выбрав трёхмерную задачу (3D Component) и создадим Work Plane (Рабочую плоскость) в разделе Geometry (Геометрия). В геометрии для Work Plane добавляем Parametric Curve (Параметрическую кривую) и записываем параметрические уравнения, описанные выше, чтобы задать двухмерную геометрию спирали Архимеда. Данные уравнения можно сразу вписать в соответствующие поля во вкладке Expression либо сначала можно задать каждое уравнение отдельной Аналитической функцией (Analytic function):


Выражение для X-компоненты уравнения спирали Архимеда, заданное аналитической функцией.

Аналитическая функция затем может использоваться в качестве выражения в узле Parametric Curve. Во вкладке Parameter задаём параметр s от начального угла, theta_0 , до его конечного значения, theta_f=2 pi n .


Настройки для Parametric Curve (Параметрической кривой).

Как только вы зададите все параметры и нажмёте на кнопку «Build Selected», будет построена кривая, изображённая на скриншоте выше. Теперь давайте зададим толщину спирали, чтобы получить твёрдотельную (solid) двухмерную фигуру.

До этого момента параметрами нашей кривой были начальный ( a_ ) и конечный ( a_ ) радиусы и количество витков n . Теперь мы хотим добавить ещё один – толщину спирали.

Ещё раз напомним главное свойство спирали — расстояние между витками постоянно и равно 2 pi b . Что эквивалентно frac-a_> . Чтобы добавить толщину в наши уравнения, представляем расстояние между витками суммой толщины спирали и зазора thick+gap .


Расстояние между витками определяется толщиной спирали и величиной зазора.

Чтобы ввести параметр толщины и сохранить постоянное расстояние между витками, последнее перепишем, как:

После этого выражаем показатель роста спирали через толщину:

Также нужно выразить конечный угол спирали через начальный угол и конечный радиус:

Хотите задать отличный от нуля начальный угол спирали? Если так, то его надо будет добавить в выражение для определения конечного угла: theta_f=frac-a_>+theta_0 .

Дублирование кривой спирали дважды со смещением на -frac <2>и +frac <2>по отношению к начальной кривой позволяет построить спираль заданной толщины. Чтобы правильно расположить внутреннюю и внешнюю спирали, необходимо убедиться, что начала данных кривых перпендикулярны линии, на которой расположены их начальные точки. Это можно сделать, домножив расстояние смещения pmfrac <2>на единичный вектор, расположенный по нормали к начальной кривой спирали. Уравнения векторов нормали в параметрическом виде:

где s — это параметр, используемый в узле Parametric Curve. Чтобы получить нормированные единичные вектора, необходимо эти выражения разделить на длину нормали:

Обновленные параметрические уравнения спирали Архимеда со смещением:

Записывать такие длинные выражения довольно неудобно, поэтому введём следующие обозначения:

где N_x и N_y определяются аналитическими функциями в COMSOL Multiphysics, аналогично X_ и Y_ в первом примере. Внутри функции используется оператор производной, d(f(x),x) , как показано на скриншоте ниже.


Примеры оператора производной, который используется в аналитической функции

Функции X_ , Y_ , N_x , и N_y могут быть использованы в выражениях для задания параметрической кривой, как с одной стороны:


Выражения для второй смещённой параметрической кривой.

Чтобы соединить концы, добавим ещё две параметрические кривые, используя незначительные изменения уравнений выше. Для кривой, которая будет соединять спираль в центре, необходимо задать X_ , Y_ , N_x , и N_y для начального значения угла, theta. Для кривой, которая будет соединять концы, необходимо задать конечное значение theta. Исходя из этого, уравнения кривой в центре:

Уравнения кривой на конце:

В этих уравнениях параметр s изменяется от -1 до 1, как показано на скриншоте ниже.


Уравнения кривой, соединяющей спираль в центре.

В итоге, мы имеем пять кривых, которые определяют осевую линию спирали и её четыре стороны. Осевую линию можно отключить (функция disable) или даже удалить, так как она не является необходимой. Добавив узел Convert to Solid, создаём единый геометрический объект. Последним шагом является вытягивание данного профиля с помощью операции Extrude и создание трёхмерного объекта.


Полная геометрическая последовательность и вытянутая (экструдированная) трёхмерная геометрия спирали.

Краткие выводы по моделированию спирали Архимеда в COMSOL Multiphysics

В данной заметке мы разобрали основные шаги по созданию параметрической спирали Архимеда. С помощью данной модели вы можете сами экспериментировать с различными значениями параметров, а также попробовать решить с использованием данной параметризации оптимизационную задачу. Надеемся, что данная статья оказалась полезной и вы будете применять данную технику в своих последующих моделях.

Спираль Архимеда

Спираль Архимеда — плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно от центра О по равномерно вращающемуся радиусу (рисунок 5.6).

Для построения спирали Архимеда задают ее шаг Р, из центра О проводят окружность радиусом, равным шагу Р спирали, и делят шаг и окружность на несколько равных частей. Точки деления нумеруют.

Из центра О проводят радиальные прямые, проходящие через точки деления окружности.

Из центра О радиусами 0-1, 0-2 и т. д. проводят дуги до пересечения с соответствующими радиальными прямыми. Например, дуга радиуса 0-3 пересекается с прямой 0-31 в точке III. Полученные точки I, II. VIII, принадлежащие спирали Архимеда, соединяют плавной кривой по лекалу.

В машиностроении спираль Архимеда применяется, например, для сообщения движения в радиальном направлении кулачкам зажимного патрона токарного станка.

Рисунок 5.6- Построение спирали Архимеда

Эвольвента

Эвольвента — плоская кривая, являющаяся траекторией любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения. Для построения эвольвенты окружность диаметра D делят на равные части, обычно на 8 или 12 (рисунок 5.7). Через каждую точку деления проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону. На касательной, проведенной через последнюю точку деления окружности, откладывают отрезок, равный длине окружности tiD, который делят настолько же равных частей, что и окружность. Далее, на первой касательной откладывают одно деление, т.е. отрезок, равный 12-Г, на второй — два и т.д. Соединив полученные точки I-XII по лекалу, получают эвольвенту окружности.

Рисунок 5.7 — Построение эвольвенты

В машиностроении профили зубьев колес и зуборезный инструмент (пальцевую фрезу) выполняют по эвольвенте.

Циклоидальные кривые

К циклоидальным кривым относятся: циклоида, эпициклоида, гипоциклоида.

Циклоида — траектория точки А окружности, перекатываемой без скольжения по прямой (рисунок 5.8).

Для построения циклоиды от исходного положения точки А откладывают отрезок АВ, равный длине окружности. Окружность и этот отрезок делят на одинаковое число равных частей, обычно 8 или 12. Отмечают положения центра окружности при ее перекатывании О, (X, . 012 и из этих центров описывают промежуточные положения окружности. Из них линиями, параллельными линии АВ, отмечают промежуточные положения точки А. Так, в пересечении прямой, проходящей через точку 1, с окружностью, описанной из центра 0, получают первую точку циклоиды. Далее находят все точки циклоиды и соединяют их с помощью лекал.

Рисунок 5.8 — Построение циклоиды

Эпициклоида — плоская кривая, которую описывает точка А, лежащая на окружности, перекатываемой без скольжения снаружи по направляющей окружности (рисунок 5.9).

Рисунок 5.9- Построение эпициклоиды

Производящую окружность диаметра D и направляющую окружность радиуса R проводят так, чтобы они касались. Производящую окружность диаметра D делят на равное количество частей. Из центра б?о радиусом, равным (7?+O,5Z>), проводят вспомогательную дугу.

Центральный угол а определяют в градусах по формуле

где D — диаметр производящей окружности, мм;

R — радиус направляющей окружности, мм.

Разделив дугу направляющей окружности, ограниченную углом а, на такое же число частей, что и производящую, получают точки 1, 2, 3. 8. Из центра Оо через точки 7, 2, 3, . 8 направляющей окружности проводят прямые, которые продолжают до пересечения со вспомогательной дугой в точках Oi, О2, Оз. О3. Из центра Оо проводят вспомогательные дуги через точки делений 1-8 производящей окружности. Из точек 01, 02, Оз, . б?8, как из центров, проводят окружности диаметра D до пересечения со вспомогательными дугами в точках Ai, А2. As, которые принадлежат эпициклоиде.

Гипоциклоида — плоская кривая, которую описывает точка А, лежащая на окружности, перекатываемой без скольжения внутри по направляющей окружности.

Построение гипоциклоиды аналогично построению эпициклоиды. Направляющую окружность радиуса R и производящую окружность диаметра D проводят так, чтобы они касались в точке А (рисунок 5.10). Дугу направляющей окружности, ограниченную углом а, делят на равное количество частей, настолько же частей делят и производящую окружность. Точки деления дуги направляющей окружности соединяют с точкой Оо. В пересечении этих прямых со вспомогательной окружностью радиуса (7?-О,5?)) получают точки О, О2, Оз. Оз-

Из центра Оо через точки деления производящей окружности проводят вспомогательные дуги.

Создание спиральных элементов, состоящих из витков

  • Главная
  • Уроки Inventor
  • Создание спиральных элементов, состоящих из витков

Уроки Inventor

Пружина – это спиральные элементы или тела (пружина сжатия или резьба на цилиндрической поверхности), состоящие из витков, причем виток может быть новым телом в мультидетали. Пружина может быть новым телом в мультидетали.

Элемент Пружина можно использовать для:

  • создания пружин на основе эскиза профиля, представляющего поперечное сечение пружины. Профиль совмещается вокруг оси вращения, и задаются настройки размеров и конечные условия
    Для построения пружины сжатия на торцах изменяется шаг витков с целью их поджатия; что позволяет пружине стоять вертикально на плоской поверхности.
    В практике изготовления пружин используется два способа обработки торцов: натуральная или плоская. Подрезанная пружина сжатия, например, не заканчивается простой обрезкой проволоки — ее торцевая плоскость пришлифовывается для устойчивости на плоской поверхности. Конструктор можете задать размер (в градусах), на величину которого проволока подрезается. Угол перехода (дистанция) в 90 градусов означает переход на плоскость на четверти окружности. Угол перехода (дистанция) в 180 градусов означает переход на плоскость на половине окружности. Значение угла плоскости меняет дистанцию перехода на плоскость (до 360 градусов)
    Для проектирования реальной модели пружины рекомендуется применять генератор пружин.
  • моделировании резьбы путем задания профиля пружины, определяющего форму резьбы, и ось симметрии цилиндра, определяющая ось вращения. Затем создается рабочая плоскость, проходящая через рабочую ось перпендикулярно основанию цилиндра, и на ней выполняется эскиз, отстоящий от оси на значение радиуса.

Открытие диалогового окна Пружина, на трех вкладках которого содержатся опции создания спирального элемента или тела, такого как винтовая пружина и резьба на цилиндрических поверхностях, осуществляется выбором Пружина в группе команд Создание на вкладке 3D-модель.

Рисунок 1 Диалоговое окно Пружина. Вкладка Форма

  • Форма – вкладка, определяющая форму пружины. Опции вкладки предназначены для выбора профиля и оси, а также задание направления навивки. Профиль и ось должны располагаться в одном эскизе, если только ось не является рабочей осью:
  • Эскиз — кнопка выбора эскиза для профиля. Если эскиз содержит несколько профилей, пользователь должен выбрать один из них.
  • Оси — выбор прямого отрезка или рабочей оси для определения оси симметрии пружины. Ось не должна пересекать контур. Чтобы изменить направление витка, щелкнуть по кнопке Направление.
  • Тело — выбор твердого тела, если их несколько.
  • Вывод – зона диалогового окна, в котором определяется тип твердотельного объекта:
  • Тело — создание нового твердотельного объекта на основе замкнутого контура.
  • Поверхность — создание новой поверхности на основе замкнутого или разомкнутого контура. Может использоваться в качестве вспомогательной поверхности для ограничения других элементов.
  • Операция
  • Объединение —добавление созданного пружиной объема к другому элементу или телу.
  • Вычитание — удаление созданного пружиной объема из другого элемента или тела.
  • Пересечение — создание нового элемента, занимающего объем пересечения пружины и другого элемента или тела. Удаление материала, не входящего в общий объем.
  • Новое тело — создание нового твердого тела. Данная команда выбирается по умолчанию, если создаваемая пружина является первым твердотельным элементом в файле детали. Команда применяется для создания тела в файле детали, в котором уже имеются другие твердые тела. Каждое тело представляет собой набор независимых элементов, не связанных с другими телами. Тело может иметь общие элементы с другими телами.
  • Направление навивки – кнопки задания направления навивки (по часовой стрелке или против нее).

Рисунок 2 Диалоговое окно Пружина. Вкладка Размеры

  • Размеры – вкладка, определяющая размеры пружины. Опции вкладки предназначены для задания параметров построения пружины: шага, числа витков и длины. Значения двух параметров задаются пользователем, а величина третьего параметра вычисляется автоматически.
  • Тип — выбор пары параметров (шаг, число витков и длина) задаваемых вручную:
  • Шаг и число витков – построение пружины по заданному шагу между витками винтовой поверхности и числу витков.
  • Число витков и длина – построение пружины по числу витков винтовой поверхности и длины винта,
  • Шаг и высота — построение пружины по заданному шагу витками винтовой поверхности и длины винта
  • Спираль — построение спирали (пружинного элемента, расположенного в одной плоскости)
  • Шаг – текстовое поле, в котором задается расстояние между соседними витками пружины.
  • Высота — текстовое поле, в котором задается расстояние между центрами профилей начала и конца пружины
  • Число витков — число витков пружины. Значение должно быть больше нуля, оно может быть дробным (например, 1,5). В числе витков учитываются и участки на торцах пружины,
  • Конус — угол сужения или расширения пружины вдоль оси (при необходимости) для всех типов пружины, кроме спирали.

Рисунок 3 Диалоговое окно Пружина. Вкладка Граничные условия

  • Граничные условия – вкладка, определяющая метод построения торцов пружины (начала и конца пружины). Допускается поджатие только крайних витков пружины, но не ее профиля.
  • В начале – раздел вкладки, в котором задаются параметры начала пружины
  • В конце — раздел вкладки, в котором задаются параметры конечного витка пружины
  • Натуральная/Плоская – раскрывающийся список, в котором определяется метод обработки торцов пружины в ее начале и конце. Для каждого из торцов можно задать отдельный метод.
  • Плоская — создание перехода на шаге пружины. Не требуется дополнительных параметров. Выбор остальных опций невозможен
  • Натуральная — завершение пружины без перехода. Требуются дополнительные параметры.
  • Переходная часть – раскрывающийся список выбора длины переходного участка в градусах на котором выполняется поджатие витков. Как правило, устанавливается значение, меньшее полного витка:
  • при установке угла перехода в 90 градусов поджатие прекращается через четверть оборота.
  • при установке угла перехода в 180 градусов поджатие прекращается через половину оборота.
  • длина плоского участка торца пружины, где виток строится с нулевым шагом, также задается углом (до 360 градусов).
  • Плоская часть — раскрывающийся список выбора длины плоского участка в градусах. Плоский участок следует после переходного участка, на нем шаг между витками равен нулю. Он используется для построения плоского торца пружины.

Спираль в SOLIDWORKS

Рассмотрим как можно сделать спираль в SolidWorks и какие операции можно проводить используя инструмент Геликод и спираль.

Видеокурс по этой теме

Видеокурс «Моделирование в SOLIDWORKS. Полное руководство»

Всеобъемлющий видеокурс направленный на максимально полное освоение и профессиональное применение инструментов и приемов конструирования в программном комплексе SOLIDWORKS. Обучение на примере создания цифровых прототипов сложных изделий и сборок, разбор…

Спираль по траектории

Запустим SolidWorks и создадим новый документ Деталь.

Построим эскиз на плоскости Спереди.

Чертим окружность с диаметром 5 мм и расстоянием от центра координат 50 мм.

Выходим из эскиза и создаем еще один эскиз на этой же плоскости.

От центра координат, чертим вертикальную линию с высотой в 100 мм. Нажимаем ОК и выходим из эскиза.

Итого имеем два эскиза на плоскости Спереди. Во вкладке Элементы нажимаем на Бобышка/основание по траектории. Построим спираль по траектории.

На панели параметров для синей области указываем Эскиз 1 который будет являться сечением для спирали, а для красной области выбираем Эскиз 2, который будет как центр вращением траектории спирали.

Далее открываем вкладку Параметры>Указать величину скручивания и в Контроль скручивания выбираем Вращения (указываем значение 10). То есть задавая эти параметры, мы неким образом накладываем массив по спирали. При этом можем видеть как предварительно будет выглядеть спираль. Нажимаем ОК.

Спираль по траектории готова. Таким образом мы построили пружину.

Построение логарифмической спирали

Рассмотрим как можно построить так называемую спираль Архимеда в SolidWorks.

Откроем новый документ и создадим Эскиз на плоскости Спереди.

Строим обычную окружность и выходим из эскиза.

Переходим во вкладку Элементы > Кривые > Геликоид и спираль.

Кликаем на построенную окружность и в панели параметров указываем нужные параметры для построения логарифмической спирали (Шаг, количество оборотов, угол, направление по стрелке). Нажимаем ОК.

Спираль Архимеда готова! Если указать для нее сечение, как в предыдущем блоке и построить эскиз, можно создать так же основание по траектории и получим твердотельную спираль.

С использованием инструментов Основание по траектории и Геликоид и спираль, в SolidWorks можно создавать на первый взгляд сложные, но на практике простые и разнообразные вещи.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: