Как построить октаэдр

Как сделать октаэдр из бумаги (видео, фото)?

Как сделать октаэдр из бумаги?

Октаэдр — это такая объемная фигура, собрать ее из бумаги совсем не сложно, понадобиться только бумага, ножницы и клей. Выкройку можно начертить самостоятельно, а можно распечатать из интернета.

Можно собрать его и по видео, например, по этому, тут показан сам процесс применения выкройки.

Октаэдр — это объемная фигура с 8 гранями. Форму октаэдра имеют многие природные кристаллы — алмаз, хлорид натрия (поваренная соль), медный купорос и др.

Правильный октаэдр — это октаэдр, грани которого являются равносторонними треугольниками. Он имеет 12 рёбер и 6 вершин, в каждой вершине сходятся по 4 ребра.

Для того, чтобы сделать октаэдр из бумаги, нужно воспользоваться развёртками.

Вот несколько вариантов:

2) С клапанами (то есть со специальными полосками для соединения граней).

Вот этапы создания октаэдра:

I. Сначала нужно «перенести» развёртку на лист бумаги или картона.

1) Проще всего будет распечатать шаблон на принтере (увеличив его до нужных размеров).

2) Можно и начертить всё самостоятельно — но только нужно действовать внимательно, чтобы получились именно равносторонние треугольники, а не какие-то другие.

II. Вырезаем развёртку с помощью ножниц.

III. Сгибаем фигуру по линиям сгиба: всего будет 7 таких линий + 5 линий для вспомогательных клапанов.

IV. А теперь соединяем все грани и склеиваем их.

Чтобы проще было сориентироваться, можно вспомнить, что октаэдр — это 2 четырёхугольные пирамиды, соединённые между собой.

То есть сначала собираем одну пирамиду, затем другую, а потом соединяем их друг с другом.

Если речь идёт об обычном октаэдре, то процесс довольно прост. Достаточно распечатать и вырезать «выкройку» — раскладку, предлагаемую здесь, а можно и самому начертить, глядя на фото, ведь «выкройка» октаэдра — это шесть равносторонних треугольника подряд с клапанами и два «по бокам» (можно сказать «напротив друг друга», но здесь важно, под каким углом смотреть) без клапанов.

На данном видео хорошо виден процесс изготовления октаэдра: согнуть все линии, намазать клапаны клеем и приложить стороны к клапанам, ошибиться в последовательности действий невозможно:

А вот здесь фигура посложнее — звёздчатый октаэдр. Умелец показывает, как столь сложный многогранник можно сделать из одного листа бумаги без клея. Он же даёт поэтапное объяснение своих действий. Замечу сразу: наблюдать за ними проще, чем попробовать сделать самому, по крайней мере — с первого раза.

Точно такой же процесс, но с другим мастером, с другими руками и комментариями, можно посмотреть здесь:

Как вариант: процесс создания звёздчатого октаэдра-головоломки объясняют (а также предоставляют раскладки) здесь.

Октаэдр и площадь полной его поверхности: описание, формулы, примеры

Содержание:

Существует несколько способов определить площадь поверхности октаэдра. Он представляет собой один из пяти правильных многоугольников или так называемых Платоновых тел. Имеет восемь одинаковых граней (поверхностей) в виде равносторонних треугольников, к каждой из его вершин прилагается по четыре грани. Рассмотрим, что собой представляет тело, где встречается в природе, как вычисляется его площадь и объём.

Что такое октаэдр

Свойства октаэдра

  1. В тело вписывается куб, вершины которого находятся в центрах граней куба.

  1. Симметрия куба и вписанного (описанного) октаэдра совпадают.
  1. Двойственен кубу.
  1. Является полным усечением тетраэдра.
  1. Имеет равные ребра и диагонали.
  1. Состоит из равносторонних треугольников.
  1. Диагонали тела взаимоперпендикулярны, в точке пересечения делятся на равные отрезки.
  1. Октаэдр симметричен, причём 3 оси пролегают через противоположные вершины, 6 – через центры ребер.
  1. Центр симметрии тела расположен в точке пересечения диагоналей.
  1. Ребра равны по длине, поверхности – по площади.

Математические характеристики тела

Как вычислить площадь поверхности октаэдра

Площадь октаэдра равна сумме площадей составляющих его треугольников:

Здесь Sтреуг – площадь треугольника.

После подстановки значения получится требуемый результат.

Если известна длина ребра, придётся вычислить площадь треугольников.

Подставляем значение в первое выражение:

Упрощаем: после сокращения дроби на четыре получается формула площади поверхности октаэдра:

2. S = 8 * Sтреуг = 2 sqrt <3>a^2.

Существует ещё один способ проведения вычислений. Он менее точный чем предыдущие, однако позволяет обойтись без калькулятора. При приблизительном подсчёте 2 sqrt <3>равняется 3,464 или 3,46.

3. S = 3,464 a^2.

Здесь a – длина стороны треугольника (равны).

Для примера, имеется фигура октаэдр с длиной стороны 5 см.

S=2sqrt <3>a^2=2*sqrt <3>*5^2=2*sqrt <3>*25=50sqrt <3>approx 86,6 см.

Как вычислить объём правильного октаэдра

Объём показывает размер внутреннего пространства геометрического тела. Объем правильного октаэдра вычисляется, если знаете длину ребра геометрического тела, по формуле:

После проведения приблизительных расчётов frac <3>approx 0,47 формула принимает следующий вид :

Рассчитаем двумя методами на примере правильного многоугольника с гранью, равной 5 см:

V= 0,47 * a^3 = 0,47*125 approx 58,93

Значения совпали, во втором случае нужно выполнять гораздо меньше операций. Подходит он только, если не требуется исключительная точность – при округлении до 4-5 знаков после запятой точность снизится.

Развёртка

Октаэдр, как большинство гомерических тел, имеет развёртку поверхности – это плоская фигура, полученная путём совмещения поверхности модели с одной плоскостью без пересечения либо наложения граней друг на друга.

Рисунок развёртки октаэдра.

В природе насчитывается 11 разновидностей развёртки октаэдра, позволяющих создать его модель из бумаги или картона. Наиболее распространённая выглядит как восемь одинаковых треугольников. Шесть из них размещено в ряд, к третьему и четвёртому основаниям прилегает ещё по одному, их вершины направлены в противоположные стороны.

Октаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Окто» означает восемь, «хедра» — означает грань (октаэдр – восьмигранник).

Поэтому на вопрос — «что такое октаэдр?», можно дать следующее определение: » Октаэдр это геометрическое тело из восьми граней, каждая их которых — правильный треугольник «.

Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти Платоновых тел .

Октаэдр имеет следующие характеристики:

  • Тип грани – правильный треугольник;
  • Число сторон у грани – 3;
  • Общее число граней – 8;
  • Число рёбер, примыкающих к вершине – 4;
  • Общее число вершин – 6;
  • Общее число рёбер – 12;

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Октаэдр имеет центр симметрии — центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Математические характеристики октаэдра

Октаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы октаэдра определяется по формуле:

, где a — длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь октаэдра.

Радиус вписанной сферы октаэдра определяется по формуле:

Площадь поверхности октаэдра

Для наглядности, площадь поверхности октаэдра можно представить в виде площади развёртки. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон октаэдра (это площадь правильного треугольника) умноженной на 8. Либо воспользоваться формулой:

Объем октаэдра определяется по следующей формуле:

Октаэдр можно представить в виде двух правильных пирамид с четырехугольным основанием, соединенных друг с другом через это основание.

Вариант развертки

Октаэдр можно изготовить самостоятельно. Бумага или картон самый подходящий вариант. Для сборки потребуется бумажная развёртка — единая деталь с линиями сгибов.

Древнегреческий философ Платон ассоциировал октаэдр с «земным» элементом воздух, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали серый цвет.

Заметим, что это не единственный вариант развертки.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере — цветная развертка
— если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон — развертка

Читайте также  Как описать аромат

Классический вариант раскраски предполагает окраску октаэдра четырьмя различными цветами, причем таким образом, что каждая грань имеет свой цвет отличный от соседней и только противоположные не соприкасающиеся друг с другом грани окрашиваются в одинаковые цвета.

Вариант окраски представлен на рисунке. Вы можете скачать развертку с соответствующей раскраской граней.

Видео. Октаэдр из набора «Волшебные грани»

Вы можете изготовить модель октаэдра воспользовавшись деталями для сборки из набора «Волшебные грани».

Сборка многогранника из набора:

Подробная сборка от Алексея Жигулева (youtube-канал Оригами)

вращение готового многогранника:

Видео. Вращение правильных многогранников


Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок № 16. Правильные многогранники

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • определение правильного многогранника;
  • виды правильных многогранников;
  • симметрия в пространстве;
  • элементы симметрии правильных многогранников.

Глоссарий по теме

Правильный многогранник – выпуклый многогранник, все грани которого равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников.

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников.

Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов.

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.

Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1.

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Точки Аи А1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Основная литература:

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (128 с. – 131 с.)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. (68 с. – 73 с.)

Открытые электронные ресурсы:

Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Отметим, что поскольку все грани — равные правильные многоугольники, то все ребра правильного многогранника равны.

Вам уже известны примеры некоторых правильных многогранников. Например, куб. Все его грани — равные квадраты и к каждой вершине сходится три ребра.

Также нам уже знаком правильный тетраэдр.

Заметьте, что правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида – это различные многогранники!

Напомним, что пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром многоугольника. Таким образом, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но могут быть не равны ребрам основания пирамиды, а в правильном тетраэдре все ребра равны.

Правильных многогранников существует всего 5. Перечислим их.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников, значит сумма плоских углов при каждой вершине равна 180.

Рисунок 1 — Правильный тетраэдр

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240.

Рисунок 2 — Правильный октаэдр

Куб (гексаэдр) – многогранник, составленный из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов, значит, сумма плоских углов при

каждой вершине равна 270.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 300.

Рисунок 4 – Правильный икосаэдр

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников, значит, сумма плоских углов при каждой равна 324.

Рисунок 5 – Правильный додекаэдр

Название каждого правильного многогранника происходит от греческого наименования «эдра» — грань; «тетра» — 4; «гекса» — 6; «окта» — 8; «икоса» — 20; «додека» -12.

Докажем, что правильных многогранников существует ровно 5, то есть что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6.

Действительно, угол правильного n-угольника при n≥6 не меньше 120 0 . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани — правильные n-угольники при n≥6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше 360 0 . Но это не возможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 0 .

По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, либо четырех, либо пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников.

Симметрия в пространстве

Одно из интересных свойств правильных многогранников – это элементы симметрии.

Прежде чем мы их выделим давайте определим симметрию в пространстве.

Вам уже знакома симметрия из курса планиметрии. Там мы рассматривали фигуры симметричные относительно прямой и точки. В стереометрии же рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости.

Будем говорить, что точки А и А1 симметричны относительно точки О (рис. 6), если О – середина отрезка АА1. В таком случае О будет являться центром симметрии и будет симметрична сама себе.

Рисунок 6 – Центральная симметрия

Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этом отрезку (рис. 7). Прямая а называется осью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.

Рисунок 7 – Осевая симметрия

Точки АА1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 8). Плоскость α называется плоскостью симметрии, а каждая ее точка считается симметричной самой себе.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией.

Рисунок 8 – Зеркальная симметрия

Рисунок 9 – Элементы симметрии куба

Примером фигуры, обладающей и центральной, и осевой и зеркальной симметрией является куб (рис. 9).

Фигура может иметь один или несколько центров (осей, плоскостей) симметрии. Так, например, у куба один центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии.

В геометрии центр, ось и плоскость симметрии многогранника называют элементами симметрии многогранников.

С симметрией мы часто можем встретиться в природе, архитектуре, быту.

Например, многие кристаллы имеют центр ось или плоскость симметрии.

Читайте также  Как рисовать руки человека

Многие здания симметричны относительно плоскости. Примером такого здания является здание Московского государственного университета.

Рисунок 10 – Здание Московского государственного университета

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1 Выберите неверные утверждения

1) правильный додекаэдр состоит из 8 правильных треугольников

2) тетраэдр имеет 4 грани

3) гексаэдр состоит из шести параллелограммов

4) правильный октаэдр состоит из правильных пятиугольников

Утверждение под номером 1 неверно, так как название «додекаэдр» с греческого означает «двенадцать граней». В действительности, додекаэдр состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Утверждение 2 верно. Тетраэдр с греческого означает 4 грани и состоит тетраэдр из 4-х треугольников.

Гексаэдр, он же куб состоит из квадратов, которые в свою очередь являются параллелограммами, поэтому утверждение 3 верно.

С греческого «октаэдр» означает 8 граней, состоять в таком случае из пятиугольников он не может. Октаэдр состоит из восьми треугольников. Утверждение 4 неверно.

№ 2 Установите соответствие между правильными многогранниками и их развертками.

1) 2) 3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Для выполнения этого задания необходимо понять, из каких многоугольников составлен многогранник.

Итак, куб состоит из квадратов. Единственная развертка, состоящая из квадратов это развертка под номером 6. Проверить себя можно и мысленно сложив из развертки кубик.

Многогранник под номером 2 – тетраэдр, состоит из четырех треугольников. Поэтому ему будет соответствовать развертка под номером 7. Мысленно сложите из развертки тетраэдр.

Октаэдр состоит из 8 треугольников, в этом несложно убедиться исходя из изображения. Развертка под номером 8 как раз состоит из 8 треугольников.

Многогранник под номером 4 состоит также из треугольников, а единственная развертка, состоящая из треугольников, осталась под номером 10. Попробуйте вырезать такую развертку из бумаги и собрать свой икосаэдр!

Многогранник под номером 5 состоит из пятиугольников. Оставшаяся развертка 9 тоже состоит из пятиугольников. Осталось проверить, что количество совпадает.

Правильный октаэдр

Элементы

Лица Края Вершины
8 равносторонних треугольников 12 6 степени 4
Ключевые данные
Тип Правильный многогранник
Индексирование ссылок U 05 — C 17 — W 002
Символ Шлефли
Символ Wythoff 4 | 2 3
Схема компакт-диска
Характерная черта 2
Характеристики Выпуклый делахедр
Объем (край а ) 1 3 2 в 3 < displaystyle <1 over 3>< sqrt <2>> а ^ <3>>
Площадь поверхности 2 3 в 2 < displaystyle 2 < sqrt <3>> а ^ <2>>
Двугранный угол 109,47 °
Группа симметрии О ч
Двойной Куб

Правильный октаэдр представляет собой октаэдр , чей 8 грань равносторонние треугольники. У него 6 вершин и 12 ребер. Это одно из 5 твердых тел Платона . Это также треугольная антипризма и квадратная бипирамида . Он имеет описанную сферу, проходящую через его 6 вершин, и вписанную сферу, касательную к его 8 граням.

Поскольку у него 3 вершины на грань и 4 грани на вершину, его символ Шлефли равен <3,4>.

Резюме

  • 1 Характерные количества
  • 2 Разные свойства
  • 3 Примеры
    • 3.1 В играх
    • 3.2 В кристаллографии
    • 3.3 По химии
  • 4 Обобщение
    • 4.1 Гиперобъем правильного гипероктаэдра
  • 5 Примечания и ссылки
  • 6 См. Также

Характерные количества

Если а — длина ребра:

  • расстояние между двумя противоположными вершинами :; 2 в < displaystyle < sqrt <2>> а>
  • радиус описанной сферы составляет :; р знак равно в 2 < displaystyle R = < frac < sqrt <2>>>>
  • его двугранный угол arccos ⁡ ( — 1 3 ) ≈ 109,47 ∘ < displaystyle arccos left (- < frac <1><3>> right) приблизительно 109,47 ^ < circ>>
  • радиус вписанной сферы :; р знак равно в 6 < Displaystyle г = < гидроразрыва <а>< sqrt <6>>>>
  • его площадь :; В знак равно 2 3 в 2 < displaystyle A = 2 < sqrt <3>> а ^ <2>>
  • его объем :; V знак равно 2 3 в 3 < displaystyle V = < frac < sqrt <2>><3>> a ^ <3>>
  • 6 декартовых координатных точек и являются вершинами правильного октаэдра с центром в начале координат. ( ± в 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , ± в 2 , 0 ) < displaystyle ( pm < frac < sqrt <2>>>, 0,0), (0, pm < frac < sqrt <2>>>, 0)>( 0 , 0 , ± в 2 ) < displaystyle (0,0, pm < frac < sqrt <2>>>)>

Разные свойства

Октаэдр и куб имеют двойственные друг к другу, то есть сказать , что многогранник , имеющим для вершин центров граней одного является гомотетическими другими.

Каркас правильного октаэдра, то есть множество его вершин, соединенных его ребрами, образует граф, называемый графом октаэдра .

Примеры

В играх

Правильный октаэдр используется как игра в кости, особенно в ролевых играх.

В кристаллографии

Некоторые кристаллы, такие как флюорит, образуют правильный октаэдр.

В химии

Обобщение

Гипероктаэдра (или кросс многогранник , или orthoplex, или даже п -octahedron) является обобщением октаэдра в п измерениях.

П -octaèdre является двойной многогранник из п -куба ( гиперкуба в п измерениях): с получением п -octaèdre, он соединяет между собой центры граней (размерности п -1) в п -куба.

Гипероктаэдра, наряду с гиперкубом и п — симплекс , один из всего лишь трех многогранников существующих в обычной форме в любом п измерении . Правильные многогранники действительно бесконечны в размерности 2 (см. Правильный многоугольник ), 5 в размерности 3 (см. Платоново твердое тело ), 6 в размерности 4, а после этого их всего 3, как продемонстрировал Людвиг Шлефли .

Символ Шлефли из с п -octahedron имеет вид <3,3,3, . 3,4>с п — 1 цифр.

В координатах вершин гипероктаэдра с центром в начале координат получаются перестановкой координат (± 1,0,0,0, . 0,0).

Первые гипероктаэдры

Гипероктаэдр Квадратный Октаэдр Гексадекахор или 16 клеток 5-октаэдр
Измерение 2 3 4 5
Вершины 4 6 8 10
Представление

Гиперобъем правильного гипероктаэдра.

Гиперобъем многогранника является п-мерного содержанием этого многогранника. У любого есть свое преимущество.

Чтобы построить ( n + 1) -октаэдр , мы соединяем 2 n вершин n -октаэдра с новой точкой выше и с новой точкой ниже.

  • Таким образом, отрезок, концы которого соединены с точкой вверху и точкой внизу, дает квадрат (мы будем предполагать, что точки расположены так, чтобы образовался правильный гипероктаэдр).
  • Квадрат, вершины которого соединены с точкой вверху, а точка внизу, дает октаэдр.
  • Октаэдр, вершины которого соединены с точкой вверху и точкой внизу (находящейся в другом измерении), действительно дает гексадекахору.

Следовательно, гипероктаэдр представляет собой двойную гиперпирамиду (с гипероктаэдрическим основанием меньшей размерности). Поскольку в рассматриваемом случае она регулярна, все ее вершины лежат на описанной n -сфере . Эта описанная n- сфера также является сферой своих гипероктаэдрических граней меньшей размерности, потому что все вершины правильного гипероктаэдра находятся сверху. Радиус центра п -сферы пиков является одинаковым для любого размера п : . р нет знак равно в 2 2 < displaystyle R_ = < frac >> <2>>>

Гиперобъем — это объем двух гиперпирамид высоты . Таким образом, мы заключаем, что гиперобъем ( n -содержание) правильного n -октаэдра с ребром a равен : р нет < displaystyle R_ >

V нет знак равно V нет — 1 × р нет нет × 2 знак равно ( в 2 ) нет нет ! < displaystyle V_ = < frac times R_ > > times 2 = < frac <(a < sqrt <2>>) ^ ><нет!>>> .

(Мы предполагаем в этой формуле, что единственный n -октаэдр, не имеющий длины ребра, равной a, — это отрезок (1-октаэдр), который в этом случае имеет длину (диагональ квадрата), которая хорошо дает квадрат со стороной a с данным способом строительства) в 2 < displaystyle a < sqrt <2>>>

Октаэдр — правильные многогранники (методическая разработка)

Описание разработки

Октаэдр представляетс собой пересечение двух тетраэдров.

Внутренняя (общая) часть конфигурации из двух двойственных тетраэдров является октаэдром, а сама эта конфигурация называется звёздчатым октаэдром (лат.: stella octangula).

Конфигурация является единственнойзвёздчатой формой октаэдра. Соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырёх правильных тетраэдров с половиной длины ребра (то есть полного усечения [en] тетраэдра).

Вершины октаэдра лежат на серединах рёбер тетраэдра и октаэдр связан с тетраэдром тем же образом, каккубооктаэдр и икосододекаэдр связаны с остальными платоновыми телами.

Можно разделить рёбра октаэдра в отношении золотого сечения для определения вершин икосаэдра. Для этого следует расположить вектора на рёбрах, так, чтобы все грани были окружены циклами.

Затем делим каждое ребро в золотом отношении вдоль векторов. Полученные точки являются вершинами икосаэдра.

Октаэдры и тетраэдры [en] можно чередовать, чтобы построить однородные относительно вершин, рёбер и гранейсоты, которые Фуллер назвал октетной связкой [en] .

Это единственные соты, позволяющие регулярную укладку в кубе, и они являются одним из 28 видов выпуклых однородных сот [en] .

Октаэдр уникален среди платоновых тел в том, что только он имеет чётное число граней при каждой вершине.

Кроме того, это единственный член этой группы, который имеет плоскости симметрии, не пересекающие ни одну грань.

Если использовать стандартную терминологию многогранников Джонсона, октаэдр можно назвать квадратной бипирамидой. Усечение двух противоположных вершин приводит к усечённой бипирамиде [en] .

Октаэдр является 4-связным. Это значит, что нужно удалить четыре вершины, чтобы разъединить оставшиеся.

Это один из всего лишь четырёх 4-связныхсимплициальных [en] хорошо покрытых многогранников, что означает, что все наибольшие независимые множества вершин имеют один и тот же размер.

Другие три многогранника с этим свойством — пятиугольная бипирамида [en] , плосконосый равногранный тетраэдр [en] и нерегулярный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями [2] .

Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.

Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.

В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

Однородное раскрашивание и симметрия [править | править вики-текст]

Имеется 3 однородных раскрашивания [en] октаэдра, названных по их цветам граней: 1212, 1112, 1111.

Группой симметрии октаэдра является Oh с порядком 48, трёхмерная гипероктаэдральная группа [en] .

В подгруппы этой группы входят D3d (порядка 12), группа симметрии треугольной антипризмы, D4h (порядка 16), группа симметрии квадратной бипирамиды, и Td (порядка 24), группа симметрииполностью усечённого тетраэдра.

Эти симметрии можно подчеркнуть путём различного раскрашивания граней.

Весь материал — в документе.

Содержимое разработки

Правильный октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Если длина ребра октаэдра равна а, то радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

,

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

двугранный угол: , где .

Радиус полувписанной сферы [en] , которая касается всех рёбер, равен

Ортогональные проекции

Октаэдр имеет четыре специальные ортогональных проекции, центрированные ребром, вершиной, гранью и нормалью к грани. Второй и третий случай соответствуют плоскостям Коксетера B2 и A2.

Ортогональные проекции

Центрированы

Нормалью
к грани

Проективная
симметрия

Сферическая мозаика

Октаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, сохраняет углы, но не длины и площадь. Отрезки на сфере отображаются в дуги окружностей на плоскости.


треугольно-центрированная

Ортогональная проекция

Стереографическая проекция

Декартовы координаты

Октаэдр с длиной ребра может быть помещён в начало координат, так что его вершины будут лежать на осях координат. Декартовы координатывершин тогда будут

В xyz прямоугольной системе координат октаэдр с центром с точке (a, b, c) и радиусом r — это множество всех точек (x, y, z), таких, что

Площадь и объём

Площадь полной поверхности правильного октаэдра с длиной ребра a равна

Объём октаэдра (V) вычисляется по формуле:

Таким образом, объём октаэдра в четыре раза больше объёма тетраэдра с той же длиной ребра, в то время как площадь поверхности вдвое больше (поскольку поверхность состоит из 8 треугольников, а у тетраэдра — из четырёх).

Если октаэдр растянуть, чтобы выполнялось равенство:

формулы для поверхности и объёма превращаются в:

Кроме того, тензор моментов инерции растянутого октаэдра будет равен:

Он сводится к уравнению для правильного октаэдра, когда:

Геометрические связи

Октаэдр представляетс собой пересечение двух тетраэдров

Внутренняя (общая) часть конфигурации из двух двойственных тетраэдров является октаэдром, а сама эта конфигурация называется звёздчатым октаэдром (лат.: stella octangula). Конфигурация является единственнойзвёздчатой формой октаэдра. Соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырёх правильных тетраэдров с половиной длины ребра (то есть полного усечения [en] тетраэдра). Вершины октаэдра лежат на серединах рёбер тетраэдра и октаэдр связан с тетраэдром тем же образом, каккубооктаэдр и икосододекаэдр связаны с остальными платоновыми телами. Можно разделить рёбра октаэдра в отношении золотого сечения для определения вершин икосаэдра. Для этого следует расположить вектора на рёбрах, так, чтобы все грани были окружены циклами. Затем делим каждое ребро в золотом отношении вдоль векторов. Полученные точки являются вершинами икосаэдра.

Октаэдры и тетраэдры [en] можно чередовать, чтобы построить однородные относительно вершин, рёбер и гранейсоты, которые Фуллер назвал октетной связкой [en] . Это единственные соты, позволяющие регулярную укладку в кубе, и они являются одним из 28 видов выпуклых однородных сот [en] .

Октаэдр уникален среди платоновых тел в том, что только он имеет чётное число граней при каждой вершине. Кроме того, это единственный член этой группы, который имеет плоскости симметрии, не пересекающие ни одну грань.

Если использовать стандартную терминологию многогранников Джонсона, октаэдр можно назвать квадратной бипирамидой. Усечение двух противоположных вершин приводит к усечённой бипирамиде [en] .

Октаэдр является 4-связным. Это значит, что нужно удалить четыре вершины, чтобы разъединить оставшиеся. Это один из всего лишь четырёх 4-связныхсимплициальных [en] хорошо покрытых многогранников, что означает, что все наибольшие независимые множества вершин имеют один и тот же размер. Другие три многогранника с этим свойством — пятиугольная бипирамида [en] , плосконосый равногранный тетраэдр [en] и нерегулярный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями [2] .

Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.

Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.

В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

Однородное раскрашивание и симметрия[править | править вики-текст]

Имеется 3 однородных раскрашивания [en] октаэдра, названных по их цветам граней: 1212, 1112, 1111.

Группой симметрии октаэдра является Oh с порядком 48, трёхмерная гипероктаэдральная группа [en] . В подгруппы этой группы входят D3d (порядка 12), группа симметрии треугольной антипризмы, D4h (порядка 16), группа симметрии квадратной бипирамиды, и Td (порядка 24), группа симметрииполностью усечённого тетраэдра. Эти симметрии можно подчеркнуть путём различного раскрашивания граней.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: