Как находить производную от числа

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

  • Контрольная работа от 1 дня / от 120 р. Узнать стоимость
  • Дипломная работа от 7 дней / от 9540 р. Узнать стоимость
  • Курсовая работа 5 дней / от 2160 р. Узнать стоимость
  • Реферат от 1 дня / от 840 р. Узнать стоимость

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

  • Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:

    В этом равенстве — функция, от которой мы берем производную,

    — функция, которая получается в результате этой операции.

    Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций :

    1 . Производная константы равна нулю:

    2 . Производная степенной функции:

    Заметим, что может принимать любые действительные значения.

    1.

    2.

    3.

    3 . Производная показательной функции:

    Частный случай этой формулы:

    4 . Производная логарифма:

    Частный случай этой формулы:

    5 . Производные тригонометрических функций:

    6 . Производные обратных тригонометрических функций:

    Правила дифференцирования:

    1. Производная суммы двух функций:

    2. Производная произведения двух функций:

    3. Производная дроби:

    4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число «выносится» за знак производной):

    Чтобы правильно найти производную функции , полезно придерживаться такого алгоритма :

    1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

    2. Отделите в явном виде коэффициенты.

    3. Если возможно, упростите выражение , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции

    4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.

    5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

    Пример 1. Найти производную функции:

    0″ title=»f(x)=log_<2>,

    x>0″/>

    Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

    Так как по условию 0″ title=»x>0″/>, следовательно,

    Пример 2. Найти производную функции:

    1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

    Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

    Пример 3. Найти производную функции

    Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

    Теперь легко найти производную:

    Пример 4. Найти производную функции:

    Читайте также  Как отполировать алюминий

    Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

    Найдем производную функции по формуле производной дроби:

    КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

    Видеоурок «Производная сложной функции» смотрите здесь.

    Как посчитать производную?

    Надеюсь, ты уже понял, что такое производная? Для решения это, конечно, не критично, но для понимания важно!

    Для обозначение производных ставят такой знак, который уже знаком из иностранных языков: «’» (апостроф).

    Например: (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹, то есть производная от xⁿ будет равна nxⁿ⁻¹.

    Для нахождения производных выведен базовый набор формул, который нам сейчас пригодится!

    Самый большой секрет заключается в том, что производная от любого числа равна нулю.

    А производная от ( π)’ чему равна? Тоже ноль , это ведь тоже число!

    Теперь c неизвестными:

    (x)’ = (x¹)’ — если не указана степень у значения, то это число в первой степени (5 = 5¹).

    (x¹)’? Для этого посмотрим на первую формулу ((xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹), где х — неизвестное, n — какое-то число.

    Нужно значение в степени (сверху) поставить перед (умножить на) х, а показатель степени уменьшить на единицу!

    В нашем случае (x¹)’ => x = x; n = 1.

    Тогда, подставив в формулу, получим: (x¹)’ = 1x¹⁻¹ = 1x⁰ = 1×1 = 1 (Еще одна тайна: любое значение в нулевой степени равняется единице! ).

    (16x)’ = (16x¹)’ = 16×1×x¹⁻¹ = 16.

    Число перед иксом всегда остается перед значением! (В данном случае оставляем 16 и 0,5)

    (корень без дополнительных обозначений говорит, что х находится в степени ½)

    Та же перенесем ½ к 3-ке, а показатель степени уменьшим на единицу:

    Последний пример на эту тему:

    Пример кажется очень похожим на предыдущий, вот только где здесь x?

    √π — хоть сразу и не скажешь, чему равняется это значение, но калькулятор знает! Значит, это число.

    А производная от числа — это ноль!

    Аналогично, используя формулы, можно брать производные от других функций:

    А как же обстоят дела с суммой и разностью производных? Берем производную от каждого члена, оставляя тот же знак:

    (3x² − 2x + 1)’ = (3x²)’ − (2x)’ + (1)’ = 6x − 2 + 0 = 6x − 2.

    (6x³ − 777)’ = (6x³)’ − (777)’ = 18x² − 0 = 18x².

    (2x⁷ + 5×е)’ = (2x⁷)’ + (5×e)’= 14x⁶ + 0 = 14x⁶ (e = 2,71828, значит, производная равна 0).

    (2x ⁻ ²)’ = 2 × (-2) × x⁻ ³ = 4 x⁻³.

    (8sin(x) + 4ln(x) + 14x⁻²)’ = 8cos(x) + 4/x + 14×(-2)×x⁻³ = 8cos(x) + 4/x − 28×x⁻³.

    Кажется, ничего трудного нет, однако, если поставить цифру не перед функцией, а в нее, появятся сложности, о которых многие забывают:

    Для начала пойдем простым путем: раскроем квадрат по определению и возьмем производную от каждого члена:

    ((4x − 1)²)’ = (16x² − 8x + 1)’ = (16x²)’ − (8x)’ + (1)’ = 32x − 8.

    Если теперь взять производную, как мы делали ранее: перенести 2-ку перед скобкой и уменьшить степень на единицу:

    ((4x − 1)²)’ = 2×(4x − 1)¹ = 8x − 2. Не сходится!

    Дело в том, что здесь уже появляются внешняя и внутренняя функции (это самое трудное в теме производных).

    В таком случае берем производную сначала от внешней функции и умножаем результат на производную внутренней:

    В данном случае есть внешняя функция «ln(3x)» и внутренняя функция «3x».

    Еще одно важное замечание: у производной ln(3x) значение под логарифмом а = 3х, поэтому в знаменателе так же будет 3х!

    Самое главное определиться где внешняя, а где внутренняя функция.

    Это выражение относится к третьей формуле, а не к первой! Икс в данном случае находится в показателе степени (сверху), а основание (снизу) является числом (а = 3; х = x² − 4x + 4).

    Здесь придется брать прозводную от степени, от логарифма и от значения под логарифмом или нет?

    Упростить этот пример нам поможет свойство логарифма:

    А вот этот пример уже трудно упростить, раскрытие синуса двойного угла только удлинит решение. Здесь нужно взять три производные: 1) от степени 2) от синуса 3) от значения под синусом.

    В сложных производных чаще всего (исключение составляет показательная функция, когда икс в степени) первую производную нужно брать от степени (² ³ ⁴ ⁵ ⁶), вторую от функции (ln; log; sin; cos), третью от значения под функцией (sin( 3x ); ln( 14x² )).

    С вычитанием и сложением мы разобрались, значит осталось.

    Для произведения и частного есть формулы (последние в табличке), которые стоит рассмотреть внимательнее.

    Для произведения: производную первого множителя нужно умножить на просто второй множитель, плюс производную второго множителя умножить на первый.


    Для частного: производную числителя умножаем на знаменатель и вычитаем производную знаменателя, умноженную на числитель, и все вот это делим на квадрат знаменателя.

    Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций

    Правила вычисления производных
    Таблица производных часто встречающихся функций
    Таблица производных сложных функций

    Правила вычисления производных

    Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

    Правило 1 (производная от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

    где c – любое число.

    Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

    Правило 2 (производная суммы функций) . Производная суммы функций вычисляется по формуле

    то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

    Правило 3 (производная разности функций) . Производная разности функций вычисляется по формуле

    то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

    Правило 4 (производная произведения двух функций) . Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

    Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

    Правило 5 (производная частного двух функций) . Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

    Определение . Рассмотрим функции f (x) и g (x) . Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

    При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.

    Правило 6 (производная сложной функции) . Производная сложной функции вычисляется по формуле

    Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .

    Таблица производных часто встречающихся функций

    В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

    где c – любое число

    где c – любое число

    где a – любое положительное число, не равное 1

    где a – любое положительное число, не равное 1

    y = arcsin x ,

    y = arccos x ,

    где c – любое число

    Формула для производной:

    где c – любое число

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    где a – любое положительное число, не равное 1

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    где a – любое положительное число, не равное 1

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    Читайте также  Как оцифровать черно-белые фотографии

    ,

    Формула для производной:

    y = arcsin x ,

    Формула для производной:

    y = arccos x ,

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    Таблица производных сложных функций

    В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид f (x) = kx + b , где k и b – любые числа, .

    где c – любое число.

    где c – любое число.

    где a – любое положительное число, не равное 1

    где a – любое положительное число, не равное 1

    где a – любое положительное число, не равное 1

    где a – любое положительное число, не равное 1

    где

    где

    где

    где

    Решение задач по математике онлайн

    Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.

    Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

    Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

    Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.

    Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.

    Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
    Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>
    С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите выражение функции Найти производную функции f(x)

    Немного теории.

    Определение производной

    Определение. Пусть функция ( y = f(x) ) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку ( x_0 ). Дадим аргументу приращение ( Delta x ) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции ( Delta y ) (при переходе от точки ( x_0 ) к точке ( x_0 + Delta x ) ) и составим отношение ( frac ). Если существует предел этого отношения при ( Delta x rightarrow 0 ), то указанный предел называют производной функции ( y=f(x) ) в точке ( x_0 ) и обозначают ( f'(x_0) ).

    Для обозначения производной часто используют символ ( y’ ). Отметим, что ( y’ = f(x) ) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией ( y = f(x) ), определенная во всех точках (x), в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции ( y = f(x) ).

    Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции ( y = f(x) ) в точке с абсциссой ( x=a ) можно провести касательную, непараллельную оси (y), то ( f(a) ) выражает угловой коэффициент касательной:
    ( k = f'(a) )

    Поскольку ( k = tg(a) ), то верно равенство ( f'(a) = tg(a) ) .

    А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция ( y = f(x) ) имеет производную в конкретной точке ( x ):
    $$ lim_ frac = f'(x) $$
    Это означает, что около точки (x) выполняется приближенное равенство ( frac approx f'(x) ), т.е. ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ).
    Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке (x).
    Например, для функции ( y = x^2 ) справедливо приближенное равенство ( Delta y approx 2x cdot Delta x ). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

    Как найти производную функции у = f(x) ?

    1. Зафиксировать значение ( x ), найти ( f(x) )
    2. Дать аргументу ( x ) приращение ( Delta x ), перейти в новую точку ( x+ Delta x ), найти ( f(x+ Delta x) )
    3. Найти приращение функции: ( Delta y = f(x + Delta x) — f(x) )
    4. Составить отношение ( frac )
    5. Вычислить $$ lim_ frac $$
    Этот предел и есть производная функции в точке (x).

    Если функция (y=f(x)) имеет производную в точке (x), то ее называют дифференцируемой в точке (x). Процедуру нахождения производной функции (y=f(x)) называют дифференцированием функции (y=f(x)).

    Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

    Пусть функция (y=f(x)) дифференцируема в точке (x). Тогда к графику функции в точке ( M(x; ; f(x)) ) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен ( f'(x) ). Такой график не может «разрываться» в точке (M), т. е. функция обязана быть непрерывной в точке (x).

    Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция (y=f(x)) дифференцируема в точке (x), то выполняется приближенное равенство ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ). Если в этом равенстве ( Delta x ) устремить к нулю, то и ( Delta y ) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

    Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

    Обратное утверждение неверно. Например: функция ( y=|x|) непрерывна везде, в частности в точке (x=0), но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

    Еще один пример. Функция ( y=sqrt[3] ) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке (x=0). И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке (x=0). Но в этой точке касательная совпадает с осью (y), т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид (x=0). Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и ( f'(0) )

    Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

    Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

    Правила дифференцирования

    Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
    Если (C) — постоянное число и ( f=f(x), ; g=g(x) ) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

    Правила вычисления производных

    Если следовать определению, то — это предел отношения приращения функции Δ y к приращению аргумента Δ x :

    Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f ( x ) = x 2 + (2 x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

    Читайте также  Как определить глаголы совершенного и несовершенного вида

    Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

    Производные элементарных функций

    Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

    Итак, производные элементарных функций:

    Название Функция Производная
    Константа f ( x ) = C , C ∈ R 0 (да-да, ноль!)
    Степень с рациональным показателем f ( x ) = x n n · x n − 1
    Синус f ( x ) = sin x cos x
    Косинус f ( x ) = cos x − sin x (минус синус)
    Тангенс f ( x ) = tg x 1/cos 2 x
    Котангенс f ( x ) = ctg x − 1/sin 2 x
    Натуральный логарифм f ( x ) = ln x 1/ x
    Произвольный логарифм f ( x ) = log a x 1/( x · ln a )
    Показательная функция f ( x ) = e x e x (ничего не изменилось)

    Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

    В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

    (2 x 3 )’ = 2 · ( x 3 )’ = 2 · 3 x 2 = 6 x 2 .

    Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

    Производная суммы и разности

    Пусть даны функции f ( x ) и g ( x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

    1. ( f + g )’ = f ’ + g ’
    2. ( f − g )’ = f ’ − g ’

    Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, ( f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.

    Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

    Задача. Найти производные функций: f ( x ) = x 2 + sin x; g ( x ) = x 4 + 2 x 2 − 3.

    Функция f ( x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

    f ’( x ) = ( x 2 + sin x )’ = ( x 2 )’ + (sin x )’ = 2 x + cos x;

    Аналогично рассуждаем для функции g ( x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

    g ’( x ) = ( x 4 + 2 x 2 − 3)’ = ( x 4 + 2 x 2 + (−3))’ = ( x 4 )’ + (2 x 2 )’ + (−3)’ = 4 x 3 + 4 x + 0 = 4 x · ( x 2 + 1).

    Ответ:
    f ’( x ) = 2 x + cos x;
    g ’( x ) = 4 x · ( x 2 + 1).

    Производная произведения

    Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike «>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

    ( f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’

    Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

    Задача. Найти производные функций: f ( x ) = x 3 · cos x; g ( x ) = ( x 2 + 7 x − 7) · e x .

    Функция f ( x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

    f ’( x ) = ( x 3 · cos x )’ = ( x 3 )’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3 x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )

    У функции g ( x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g ( x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

    g ’( x ) = (( x 2 + 7 x − 7) · e x )’ = ( x 2 + 7 x − 7)’ · e x + ( x 2 + 7 x − 7) · ( e x )’ = (2 x + 7) · e x + ( x 2 + 7 x − 7) · e x = e x · (2 x + 7 + x 2 + 7 x −7) = ( x 2 + 9 x ) · e x = x ( x + 9) · e x .

    Ответ:
    f ’( x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x );
    g ’( x ) = x ( x + 9) · e x .

    Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

    Производная частного

    Если есть две функции f ( x ) и g ( x ), причем g ( x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h ( x ) = f ( x )/ g ( x ). Для такой функции тоже можно найти производную:

    Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

    Задача. Найти производные функций:

    В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:


    По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

    Производная сложной функции

    Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f ( x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f ( x ) = sin ( x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

    Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

    f ’( x ) = f ’( t ) · t ’, если x заменяется на t ( x ).

    Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

    Задача. Найти производные функций: f ( x ) = e 2 x + 3 ; g ( x ) = sin ( x 2 + ln x )

    Заметим, что если в функции f ( x ) вместо выражения 2 x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f ( x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2 x + 3 = t , f ( x ) = f ( t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:

    f ’( x ) = f ’( t ) · t ’ = ( e t )’ · t ’ = e t · t ’

    А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2 x + 3. Получим:

    f ’( x ) = e t · t ’ = e 2 x + 3 · (2 x + 3)’ = e 2 x + 3 · 2 = 2 · e 2 x + 3

    Теперь разберемся с функцией g ( x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:

    g ’( x ) = g ’( t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’

    Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:

    g ’( x ) = cos ( x 2 + ln x ) · ( x 2 + ln x )’ = cos ( x 2 + ln x ) · (2 x + 1/ x ).

    Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

    Ответ:
    f ’( x ) = 2 · e 2 x + 3 ;
    g ’( x ) = (2 x + 1/ x ) · cos ( x 2 + ln x ).

    Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

    Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

    ( x n )’ = n · x n − 1

    Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

    Задача. Найти производную функции:

    Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

    f ( x ) = ( x 2 + 8 x − 7) 0,5 .

    Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8 x − 7 = t . Находим производную по формуле:

    f ’( x ) = f ’( t ) · t ’ = ( t 0,5 )’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.

    Делаем обратную замену: t = x 2 + 8 x − 7. Имеем:

    f ’( x ) = 0,5 · ( x 2 + 8 x − 7) −0,5 · ( x 2 + 8 x − 7)’ = 0,5 · (2 x + 8) · ( x 2 + 8 x − 7) −0,5 .

  • Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: