Кто открыл квадратные корни

История открытия корня

Этимология термина и происхождение символики

квадратный корень геометрический ньютон

Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечение квадратного корня древние греки понимали строго геометрически: как нахождение стороны квадрата по известной его площади. После перевода на санскрит (древний литературный язык Индии со сложной синтетической грамматикой. Само слово «санскрит» означает «обработанный, совершенный». Возраст ранних памятников доходит до 3,5 тыс. лет (середина II тыс. до н. э.).)греческое слово «сторона» превратилась в «мула» (основание). Слово «мула» имело также значение «корень», поэтому при переводе индийских сиддхант ((санскр. . siddhanta ) — санскритский термин, который можно перевести как «доктрина», «учение» или «традиция».В школах индийской философии сиддхантой называют философское заключение, установившуюся или принятую точку зрения. Сиддханта — это установившийся богословский термин в индуистской философии, где он используется для обозначения специфической линии богословского развития в определённой индуистской религиозной традиции. Исторически, в различных индуистских философских школах сиддханта устанавливалась основателями этих школ в форме сутр (афоризмов). Впоследствии, выдающиеся философы каждой традиции писали к сутрам комментарии, в которых продолжали формулировать установленную ранее доктрину путём цитирования шастр и использования логики и праманы. Например в традиции веданты, автором «Веданта-сутр» был Вьяса, а комментаторами — Шанкара, Рамануджа и Мадхва (каждый из которых выступил основателем одной из ведантических школ). Также, в традиции мимансы, автором сутр был Джаймини, а комментатором — Шабарасвами.

Сиддхантами также называют базовые древнеиндийские трактаты по астрономии. Варахамихира в «Панча-сиддхантике» выделяет пять сиддхант: «Сурья-сиддханта», «Пайтамаха-сиддханта» (схожа с классической «Веданга-джьотишей»), «Паулиса-сиддханта», «Ромака-сиддханта» и «Васиштха-сиддханта») на арабский использовался термин «джизр» (корень растения). Впоследствии аналогичное по смыслу слово «radix» закрепилось в латинских переводах с арабского, а через них и в русской математической терминологии («корень», «радикал»).

Средневековые математики (например, Кардано (Джероламмо (Джироламо, Иероним) Кардамно (лат. Hieronymus Cardanus, итал. Girolamo Cardano, Gerolamo Cardano; 24 сентября 1501, Павия — 21 сентября 1576, Рим) — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог. В его честь названы открытые Сципионом дель Ферро формулы решения кубического уравнения (Кардано был их первым публикатором)) обозначали квадратный корень символом Rx, сокращение от слова «radix».

Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф (Кримстоф (Христоф) Румдольф (нем. Christoph Rudolff, 1499—1545) — немецкий математик, автор первого немецкого учебника алгебры, в котором предложил знак радикала, закрепившийся в науке. Принадлежал к школе «коссистов» (то есть алгебраистов), в 1525 году. (немецких алгебраистов XVI века).

Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл

Декарт (1637) (Ренем Декамрт (фр. Rene Descartes, лат. Renatus Cartesius Картезий; 31 марта 1596, Лаэ (провинция Турень), ныне Декарт (департамент Эндр и Луара) — 11 февраля 1650, Стокгольм) — французский философ, математик, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике, предтеча рефлексологии.)для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

Показатель степени появился в знаке корня благодаря Валлису (Джон Вамллис, точнее — Уомллис (англ. John Wallis; 23 ноября (3 декабря) 1616 — 28 октября (8 ноября) 1703) — английский математик, один из предшественников математического анализа.) и «Универсальной арифметике» («Универсальная арифметика» (или «Всеобщая арифметика», лат. Arithmetica Universalis) — монография Исаака Ньютона, впервые опубликованная в 1707 году на латинском языке. Универсальной арифметикой Ньютон называл алгебру, и данный труд внёс существенный вклад в развитие этого раздела математики. Позднее книгу под таким же названием опубликовал Эйлер в 1768—1769 годах.) Ньютона(XVIII век) (Исаамк Ньюмтон (или Ньютомн) (англ. Isaac Newton, 25 декабря 1642 года — 20 марта 1727 года по юлианскому календарю, действовавшему в Англии до 1752 года; или 4 января 1643 года — 31 марта 1727 года по григорианскому календарю) — английский физик, математик, механик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета, заложил основы современной физической оптики, создал многие другие математические и физические теории.).

Корни: исторические сведения и задачи

Описание презентации по отдельным слайдам:

Корни: исторические сведения и задачи Яковлева Татьяна Петровна, доцент кафедры математики и физики Камчатского государственного университета имени Витуса Беринга, кандидат педагогических наук, доцент, г. Петропавловск — Камчатский

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков. Среди таких задач: Применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам. Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. .

Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры. И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число√2 – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n.

Нахождение стороны квадрата, площадь которого задана. Решение квадратных уравнений. Греки сформулировали проблему удвоения куба, которая сводилась к построению кубического корня с помощью циркуля и линейки. Проблема оказалась неразрешимой. Численные алгоритмы извлечения кубического корня опубликовали Герон и индийский математик Ариабхата I.

Алгоритмы извлечения корней любой степени из целого числа, разработанные индийскими и исламскими математиками, были усовершенствованы в средневековой Европе. После появления формулы Кардано началось применение в математике мнимых чисел, понимаемых как квадратные корни из отрицательных чисел. Основы техники работы с комплексными числами разработал в XVI веке Рафаэль Бомбелли, который также предложил оригинальный метод вычисления корней (с помощью цепных дробей).

Открытие формулы Муавра показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не приводит к новому типу чисел. Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корня.

Пифагор (570 – 490 года до н.э.) – древнегреческий математик, философ. Родился Пифагор в Сидоне Финикийском. Факты биографии Пифагора не известны достоверно. О его жизненном пути можно судить лишь из произведений других древнегреческих философов. По их мнению, математик Пифагор общался с известнейшими мудрецами, учеными того времени. Он вернулся на Самос из поездки в Египет . Однако позже самому Пифагору пришлось уехать в Метапонт, поскольку наряду с последователями, у философа и ученого было много противников. Пифагор

Как математик Пифагор достиг больших успехов. Ему приписывают открытие и доказательство теоремы Пифагора, создание таблицы Пифагора. Философское учение Пифагора можно разделить на две части – научную и религиозную. Поскольку Пифагор считал свое учение тайной и практиковал только устную передачу его ученикам, собрания сочинений после него не осталось. Ряд историков сомневаются в том, что знаменитая теорема Пифагора была доказана именно им, аргументируя это тем, что она была известна другим древним народам. Помимо доказательства теоремы Пифагора, этому математику приписывают подробное изучение целых чисел, пропорций и их свойств. Пифагорейцам принадлежит значительная заслуга в придании геометрии характера науки. Пифагор

Герон Александрийский— греческий математик и механик. Время жизни отнесено ко второй половине первого века н. э. на том основании, что он приводит в качестве примера лунное затмение 13 марта 62 г. н. э. Подробности его жизни неизвестны. Герона относят к величайшим инженерам за всю историю человечества. Он первым изобрёл автоматические двери, прибор для измерения протяжённости дорог (древний одометр) и др. Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: Метрика, Пневматика, Механика (произведение сохранилось целиком в арабском переводе), Катоптрика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съёмки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон

Читайте также  Какой телевизор лучше – lcd или ips

«Метрика» (Μετρική) Герона и извлечённые из неё «Геометрика» и «Стереометрика» представляют собой справочники по прикладной математике. Среди содержащихся в «Метрике» сведений: Формулы для площадей правильных многоугольников. Объёмы правильных многогранников, пирамиды, конуса, усечённого конуса, тора, шарового сегмента. Формула Герона для расчёта площади треугольника по длинам его сторон (открытая Архимедом). Правила численного решения квадратных уравнений. Алгоритмы извлечения квадратных и кубических корней (см. Итерационная формула Герона). В основном изложение в математических трудах Герона догматично — правила часто не выводятся, а только показываются на примерах. Книга Герона «Определения» представляет собой обширный свод геометрических определений. Герон

Этимология— раздел лингвистики изучающий происхождение слов. Термин «корень» имеет долгую и сложную историю. Извлечение квадратного корня древние греки понимали строго геометрически: как нахождение стороны квадрата по известной его площади. После перевода на санскрит греческое слово «сторона» превратилась в «мула» (основание). Слово «мула» имело также значение «корень», поэтому при переводе индийских сиддхант на арабский использовался термин «джизр» (корень растения). Впоследствии аналогичное по смыслу слово «radix» закрепилось в латинских переводах с арабского, а через них и в русской математической терминологии («корень», «радикал»).

Средневековые математики, например, Кардано обозначали квадратный корень символом «Rx», сокращение от слова «radix». Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы алгебраистов, в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня. Показатель степени появился в знаке корня благодаря Валлису и «Универсальной арифметике» Ньютона.

Задачи Ал-Кархи (Из трактатов «Кафи-фил-Гисаб» и «Ал-Факри») Ал-Кархи (XI век), автор двух трактатов «Кафи-фил-Гисаб» («Все известное в арифметике») и «Ал-Факри» — обширное сочинение по алгебре. В первом трактате много внимания уделено и геометрии.

Задачи Бхаскара Акариа Из трактата «Венец астрономического учения» Бхаскара-Акариа (род. 1114 г.), знаменитый индусский математик (приставка «акариа» означает «мудрец», «ученый»), автор трактата «Сидданта-сиромани». Введение к нему содержит арифметику – «Лилавати», что буквально означает «прекрасная», и алгебру – «Виджа Ганита» (вычисление корней).

Задачи Кристофа Рудольфа Кристоф Рудольф, автор популярнейшего алгебраического трактата «Coss».

Задача Симона Стевина Стевин, Симон (1548-1620), голландский инженер, которого можно по справедливости считать изобретателем десятичных дробей (трактат «La Disme», 1585).

Задача Маклорена Маклорен, Колин (1698-1746), профессор университета в Эдинбурге, математик, известный своими трудами по высшему анализу («Трактат о флюксиях») и особенно исследованиями свойства кривых, главным образом третьего порядка. Его имя обычно связывают с разложением функций в ряд по степеням аргумента, хотя ряд этот был известен и до него, и был им только впервые опубликован.

Список литературы Глейзер Г.И. История математики школы /Г.И. Гейзер. — М: Просвещение. — 1982.- 241 с. Кымпан Ф. История числа π / Ф. Кымпан. – М.: Наука, 1971 – 216 с. Алгебра: учеб. Для 6 кл. сред. шк. / под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 1987-268 с. Школьникам о математике и математиках / Сост. М. М. Лиман. – М.: Просвещение, 1994 – 80 с. ru.wikipedia.org/wiki/Арифметический корень ru.math.wikia.com/wiki/ Арифметический корень glovl.ru www.matematike.net/algebra uztest.ru/abstracts

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Онлайн-конференция для учителей, репетиторов и родителей

Формирование математических способностей у детей с разными образовательными потребностями с помощью ментальной арифметики и других современных методик

  • Все материалы
  • Статьи
  • Научные работы
  • Видеоуроки
  • Презентации
  • Конспекты
  • Тесты
  • Рабочие программы
  • Другие методич. материалы

В презентации рассматриваются сведения о возникновении понятия квадратный корень, его символах; об ученых, внесших свой вклад в математику — Пифагор, Герон Александрийский и др. Представлены исторические задачи с решением: эадачи Ал-Кархи (из трактатов «Кафи-фил-Гисаб» и «Ал-Факри»); эадачи Бхаскара Акариа (из трактата «Венец астрономического учения»); эадачи Кристофа Рудольфа; эадача Симона Стевина ; эадача Маклорена .

  • Яковлева Татьяна ПетровнаНаписать 16949 19.05.2017

Номер материала: ДБ-487158

  • Алгебра
  • Математика
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 11 класс
  • 10 класс
  • Презентации

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

    19.05.2017 7740
    19.05.2017 825
    19.05.2017 540
    19.05.2017 508
    19.05.2017 395
    19.05.2017 395
    19.05.2017 381

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Стартовал Всероссийский конкурс «Лучшая столовая школы»

Время чтения: 1 минута

В России пройдет конференция «Исследования, улучшающие образование»

Время чтения: 2 минуты

В России в науке и образовании женщин больше, чем мужчин, но ученых степеней у них меньше

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор оставил за регионами решение о дополнительных школьных каникулах

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор проведет исследование качества образования в школах

Время чтения: 2 минуты

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Проектная работа «История происхождения квадратного корня»

Выполнил : ученик 8 В класса

Выполнил : ученик 8 В класса Лаптев Арсений

История происхождения
квадратного корня

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №7 г.Йошкар-Олы»

2019-2020 уч. год

Цель работы: 1.Что означает и откуда берёт свои истоки знак корня

1.Что означает и откуда берёт свои истоки знак корня.
2. Познакомится с определением квадратный корень.
3. Рассказать, кому принадлежит открытие квадратного корня.
4.Узнать, где применяются квадратные корни.
5. Вывод.

Задача Рассмотрим простую с точки зрения геометрии задачу

Рассмотрим простую с точки зрения геометрии задачу. Разобьём квадрат площадью 4 на четыре единичных квадрата и проведём в каждом из них диагональ, как показано на рисунке. Получился ещё один, внутренний квадрат, площадь которого равна половине площади большого квадрата, то есть 2. Эти элементарные рассуждения подвели нас к очень важному факту — существованию квадрата площадью 2. А теперь ответьте: чему равна длина стороны этого квадрата?

Кому же принадлежит открытие квадратного корня?

Кому же принадлежит открытие квадратного корня?

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмеримы с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является нерациональным числом. Мало что известно с определенностью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта. По разным версиям за это открытие пифагорейцы его не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть (натуральное) число». Поэтому квадратный корень из двух иногда называют постоянной Пифагора, потому что пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел.

Читайте также  Как увеличить дорожный просвет у Нивы

Знак корня, что он означает и откуда берет свои истоки ?

Знак корня, что он означает и откуда берет свои истоки ?

Арифметический корень произошел от латинского слова radix – корень, radicalis – коренной
Начиная с 13 века итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом radix
( сокращенно r). В 1525 г. в книге Х.Рудольфа “Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры ” появилось обозначение V для квадратного корня,VVV-для кубического. В 1626 г. голландский математик А. Жирар ввел обозначения V, V и т. д., которые вскоре вытеснили знак r, при этом над подкоренным выражением ставилась горизонтальная черта. Современное обозначение корня впервые появилось в книге Рене Декарта “Геометрия”, изданной в 1637 году

Что же такое квадратный корень?

Что же такое квадратный корень?

Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Свойства квадратных корней. Примеры: =6 =6

Свойства квадратных корней.

Задача

Где применяется квадратный корень?

Где применяется квадратный корень?

В основном квадратный корень применяется в математике, физике для упрощения сложно-степенных функций, неравенств и уравнений. Еще в давние времена людям было просто необходимо вычислять квадратный корень. Многие занимались земледелием и разделяя площадь на квадраты, они не могли без корня ничего вычислить. Поэтому знак корня был введен человеческой необходимостью, так как зная площадь, людям в шестнадцатом веке нужно было вычислять сторону квадрата. Именно поэтому и был введен корень квадратный, которым мы и пользуемся и по сей день. И сейчас, он нам часто бывает необходим. Вспомним теорему Пифагора, Что мы знаем о ней? Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов в прямоугольном треугольнике. А если нам нужно вычислить сторону участка квадратной формы площадью 100 квадратных метров, чем мы воспользуемся? Конечно же, квадратным корнем. И тогда нам будет легко это сделать. Корень квадратный из 100 равен 10. Получается наша сторона площадки 10 метров.

Вывод: Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений

Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники.

О знаке квадратного корня. Историческая справка репетитора по математике

by Колпаков А.Н. on 4 марта 2011

З знак квадратного корня знаком всем. Его используют школьники и студенты, преподаватели и репетиторы по математике, доктора наук и академики. Однако не все знают, что современная форма и появилась не сразу. Эволюция знака радикала длилась почти пять веков, начиная с в далекого XIII в., когда итальянские и некоторые европейские математики впервые называли квадратный корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R.

В XV в. Н.Шюке писал вместо . Современный знак корня произошел от обозначения, применяемого немецкими математиками XV-XVI вв., называвшие алгебру — наукой «Косс», а математиков -алгебраистов «коссистами». (Математики XII-XV вв. писали все свои труды исключительно на латинском языке. Они называли неизвестное — res (вещь). Итальянские математики перевели слово res как cosa. Последний термин заимствовали немцы, от которых и появилось коссисты и косс.)

В XV в. некоторые немецкие коссисты для обозначения квадратного корня пользовались точкой перед выражением или числом. В скорописи эти точки заменялись черточками, а позже они перешли в символ
Один такой знак означал обычный квадратный корень. Если нужно было обозначить корень четвертой степени, то применялся сдвоенный знак знак Для обозначения кубического корня использовали утроенный знак

Комментарий репетитора по математике: остается только гадать, как именно обозначался корень восьмой степени. Если брать аналогию с четвертой степенью, то этот знак должен был отождествлять трехкратное извлечение квадратного корня, то есть для этого нужно было поставить три квадратика. Однако, это обозначение занято кубическим корнем.

Скорее всего, в последствии от таких обозначений как раз и образовался знак V, близкий по записи к знакомому школьникам современному знаку, но без верхней черты. Впервые этот знак был замечен в немецкой алгебре «Красивый и быстрый счет при помощи искусных правил алгебры»:

Автором этого труда был преподаватель математики из Вены, уроженец Чехии Криштоф Рудольф. Книга пользовалась большим успехом и постоянно переиздавалась на протяжении всего XVI в. и после аж до 1615г. Знаком корня, предложенного Криштофом пользовались А.Жирар, С.Стевин (он писал показатель корня справа от знака радикала в кружке: V (2) или V (3).

В 1626г. нидерландский математик А.Жирар видоизменил знак корня Рудольфа и ввел совсем близкое к современному обозначение Такая форма записи начала вытеснять прежний знак R. Однако некоторое время знак корня писали разрывая верхнюю черту, а именно так: .

И только в 1637 году Рене Декарт соединил горизонтальную черту с галочкой, применив новое обозначение в своей книге «геометрия».

Но и здесь не было точной копии современной формы. Запись Декарта несколько отличалась от той, к который мы с вами привыкли одной деталью. У него было записано: , где буква С, поставленная сразу после радикала, указывала на запись кубического корня. В современном виде это выражение выглядело бы так: .

Самое близкое к современному написанию радикала применял Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1685 г.) Впервые запись корня, полностью совпадающая с сегодняшней, встречается в книге французского математика Ролля «Руководство алгебры», вышедшей в 1690 г. Только через некоторое время после ее написания математики планеты принята, наконец, единую и окончательная форма записи квадратного корня:

Колпаков А.Н. Профессиональный репетитор по математике.

Квадратный корень. Историческая справка

В данной презентации представлена историческая справка по теме «Квадратный корень», рассмотрены некоторые инетерсные задачи

Просмотр содержимого документа
«Квадратный корень. Историческая справка»

Квадратный корень

Древний Вавилон

  • Понятие квадратных корней числа возникло около IV тысяч лет назад в Вавилоне.
  • Были составлены таблицы квадратов чисел и величины квадратных корней из числа. Но вычисления были приближенными

(около 1800—1600 г. до н. э.)

Древняя Греция

Герон Александрийский – древнегреческий ученый, подробно описавший методы извлечения квадратных корней (в I веке до н.э.)

Пример 1 метода:

Найти . 1360 не имеет рационального корня.

1. Возьмем корень с малой погрешностью , имеющее корень 37.

Получено число с погрешностью.

Повторив операции еще раз, погрешность можно уменьшить

Пример 2 метода:

Исходное число представляется как ,

где а 2 – ближайший точный квадрат, и считают по формуле:

  • Латинским словом Radix, затем сокращенно R (в эпоху Возрождения)
  • Точкой перед выражением или числом. В скорописи точки заменились черточками, позднее символом (XV век)
  • После введения знака V (К. Рудольфом) корень обозначали так:

V 2 или V 3 (С. Стевин)

  • (1626 год, А. Жирар)
  • Некоторое время корень обозначали . Позднее горизонтальная черта с галочкой были соединены (1637 год, Р. Декарт)
  • Запись корня, полностью совпавшая с сегодняшней, (1690 год, в книге Ролля)

Древний Китай

Трактат «Математика в девяти книгах» (X—II веках до н. э.).

В 4 книге «Шао-гуан» (метод извлечения квадратных и кубических корней) излагаются правила извлечения квадратных и кубических корней.

Правила сформулированы специально для счетной доски

Средневековая Индия

  • Извлечение квадратного корня в Индии, основано на разложении квадрата двучлена, но при этом (как и при извлечении кубического корня) не применялся метод Горнера.
  • Квадратный корень обозначался слогом «му» — от слова «мула»

Индийский математик Бхаскара (XII в.) отмечал, что положительное число имеет два квадратных корня – положительный и отрицательный , и нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа

С помощью правил:

производил преобразования квадратичных числовых иррациональностей и упрощал довольно сложные выражения

Бхаскара доказал следующие тождества:

2) — аналогично первому случаю

Задача Магавира: «Определенное количество кабанов- учетверенный квадратный корень из числа кабанов в стаде – находится в лесу; часть – удвоенный квадратный корень из остатка, умноженный на 4, движется к холму, другая часть – 9, умноженное на квадратный корень из половины остатка, идет по берегу реки и еще 56 кабанов осталось. Сколько всего кабанов?»

Читайте также  Как узнать какой тариф подключен на Мегафон

Решение: x — общее число кабанов:

Получаем х = 200.

Средняя Азия

Извлечение квадратного корня (например, при решении квадратных уравнений) встречается и в сочинении среднеазиатского математика аль-Хорезми

Теорема Пифагора

Индийцы две тысячи лет тому назад доказывали ее с помощью следующего чертежа.

Площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна , а в другом – . Значит,

Из теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками М (х1; у1) и N (x2; y2) координатной плоскости (рис. 2) выражается формулой MN=

Пример 1 . Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени – 16 м.

Решение. По теореме Пифагора имеем:

Т.к. , то , т.е. расстояние

Пример 2. Найдем расстояние между точками М (3;1) и N (8;-11)

Как найти квадратный корень? Свойства, примеры извлечения корня

Математика зародилась тогда, когда человек осознал себя и стал позиционироваться как автономная единица мира. Желание измерить, сравнить, посчитать то, что тебя окружает, — вот что лежало в основе одной из фундаментальных наук наших дней. Сначала это были частички элементарной математики, что позволили связать числа с их физическими выражениями, позже выводы стали излагаться лишь теоретически (в силу своей абстрактности), ну а через некоторое время, как выразился один ученый, «математика достигла потолка сложности, когда из нее исчезли все числа». Понятие «квадратный корень» появилось еще в то время, когда его можно было без проблем подкрепить эмпирическими данными, выходя за плоскость вычислений.

С чего все начиналось

Первое упоминание корня, который на данный момент обозначается как √, было зафиксировано в трудах вавилонских математиков, положивших начало современной арифметике. Конечно, на нынешнюю форму они походили мало — ученые тех лет сначала пользовались громоздкими табличками. Но во втором тысячелетии до н. э. ими была выведена приближенная формула вычислений, которая показывала, как извлечь квадратный корень. На фото ниже изображен камень, на котором вавилонские ученые высекли процесс вывода √2 , причем он оказался настолько верным, что расхождение в ответе нашли лишь в десятом знаке после запятой.

Помимо этого, корень применялся, если нужно было найти сторону треугольника, при условии, что две другие известны. Ну и при решении квадратных уравнений от извлечения корня никуда не деться.

Наравне с вавилонскими работами объект статьи изучался и в китайской работе «Математика в девяти книгах», а древние греки пришли к выводу, что любое число, из которого не извлекается корень без остатка, дает иррациональный результат.

Происхождение данного термина связывают с арабским представлением числа: древние ученые полагали, что квадрат произвольного числа произрастает из корня, подобно растению. На латыни это слово звучит как radix (можно проследить закономерность — все, что имеет под собой «корневую» смысловую нагрузку, созвучно, будь то редис или радикулит).

Ученые последующих поколений подхватили эту мысль, обозначая его как Rx. Например, в XV веке, дабы указать, что извлекается корень квадратный из произвольного числа a, писали R 2 a. Привычная современному взгляду «галочка» √ появилась лишь в XVII веке благодаря Рене Декарту.

Наши дни

С точки зрения математики, квадратный корень из числа y — это такое число z, квадрат которого равен y. Иными словами, z 2 =y равносильно √y=z. Однако данное определение актуально лишь для арифметического корня, так как оно подразумевает неотрицательное значение выражения. Иными словами, √y=z, где z больше либо равно 0.

В общем случае, что действует для определения алгебраического корня, значение выражения может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, в силу того, что z 2 =y и (-z) 2 =y, имеем: √y=±z или √y=|z|.

Благодаря тому, что любовь к математике с развитием науки лишь возросла, существуют разнообразные проявления привязанности к ней, не выраженные в сухих вычислениях. Например, наравне с такими занятными явлениями, как день числа Пи, отмечаются и праздники корня квадратного. Отмечаются они девять раз в сто лет, и определяются по следующему принципу: числа, которые обозначают по порядку день и месяц, должна быть корнем квадратным из года. Так, в следующий раз предстоит отмечать сей праздник 4 апреля 2016 года.

Свойства квадратного корня на поле R

  1. Квадратный корень из произведения равен произведению квадратных корней, при условии, что подкоренные выражения больше либо равны 0.
  2. При возведении корня квадратного в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение, при условии, что оно больше нуля.
  3. Квадратный корень из дроби равен корню из числителя, разделенному на корень из знаменателя, при условии, что подкоренное выражение числителя больше либо равно 0, а подкоренное выражение знаменателя строго больше 0.
  4. Подкоренное выражение, если оно больше нуля, можно разбить на несколько частей, из которых, в свою очередь, допустимо извлечь корень. Например: √75=√25*3=5√3.
  5. Под знак корня можно вводить любое число, при этом возведя его в квадрат. Например: 5√8=√25*√8=√200.

Практически все математические выражения имеют под собой геометрическую основу, не миновала эта участь и √y, который определяется как сторона квадрата с площадью y.

Как найти корень числа?

Алгоритмов вычисления существует несколько. Наиболее простым, но при этом достаточно громоздким, является обычный арифметический подсчет, который заключается в следующем:

1) из числа, корень которого нам нужен, по очереди вычитаются нечетные числа — до тех пор, пока остаток на выходе не получится меньше вычитаемого или вообще будет равен нулю. Количество ходов и станет в итоге искомым числом. Например, вычисление квадратного корня из 25:

Следующее нечетное число — это 11, остаток у нас следующий: 1 n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n ))y n , где n принимает значения от 0 до

Графическое изображение функции z=√y

Рассмотрим элементарную функцию z=√y на поле вещественных чисел R, где y больше либо равен нулю. График ее выглядит следующим образом:

Кривая растет из начала координат и обязательно пересекает точку (1; 1).

Свойства функции z=√y на поле действительных чисел R

1. Область определения рассматриваемой функции — промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль включен).

2. Область значений рассматриваемой функции — промежуток от нуля до плюс бесконечности (ноль опять же включен).

3. Минимальное значение (0) функция принимает лишь в точке (0; 0). Максимальное значение отсутствует.

4. Функция z=√y ни четная, ни нечетная.

5. Функция z=√y не является периодической.

6. Точка пересечения графика функции z=√y с осями координат лишь одна: (0; 0).

7. Точка пересечения графика функции z=√y также является и нулем этой функции.

8. Функция z=√y непрерывно растет.

9. Функция z=√y принимает лишь положительные значения, следовательно, график ее занимает первый координатный угол.

Варианты изображения функции z=√y

В математике для облегчения вычислений сложных выражений порой используют степенную форму написания корня квадратного: √y=y 1/2 . Такой вариант удобен, например, в возведении функции в степень: (√y) 4 =(y 1/2 ) 4 =y 2 . Этот метод является удачным представлением и при дифференцировании с интегрированием, так как благодаря ему корень квадратный представляется обычной степенной функцией.

А в программировании заменой символа √ является комбинация букв sqrt.

Корень квадратный в комплексном поле С

По большому счету именно предмет данной статьи стимулировал открытие поля комплексных чисел C, так как математикам не давал покоя вопрос получения корня четной степени из отрицательного числа. Так появилась мнимая единица i, которая характеризуется очень интересным свойством: ее квадратом есть -1. Благодаря этому квадратные уравнения и при отрицательном дискриминанте получили решение. В С для корня квадратного актуальны те же свойства, что и в R, единственное, сняты ограничения с подкоренного выражения.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: