Как найти вторую производную функции

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

  • Контрольная работа от 1 дня / от 120 р. Узнать стоимость
  • Дипломная работа от 7 дней / от 9540 р. Узнать стоимость
  • Курсовая работа 5 дней / от 2160 р. Узнать стоимость
  • Реферат от 1 дня / от 840 р. Узнать стоимость

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №18. Производная второго порядка, выпуклость и точки перегиба.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение производной второго порядка;

2) Определение промежутка выпуклости графика функции с помощью алгоритма;

3) Решение прикладных задач с использованием производной второго порядка.

Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка максимума функции. Точку х называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точка минимума функции. Точку хназывают точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Алгоритм нахождения интервалов выпуклости графика функции:

  1. Найти область определения функции
  2. Найти вторую производную функции
  3. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует
  4. Найти интервалы, на которые область определения функции разбивается этими точками
  5. Определить знаки второй производной на каждом интервале
  6. Если f ‘‘(х) 0 то кривая выпукла вниз.
  1. Точки, в которых вторая производная меняет знак, — точки перегиба.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

  1. Область определения данной функции D(y) = (-∞; +∞)
  2. Найдем вторую производную функции:
  3. при х = 1, х = -1
  4. Определим знаки второй производной на каждом интервале (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞), используя метод интервалов (рис. 1).

Рисунок 1 – интервалы на числовой прямой

  1. Так как на интервалах (-∞; -1) и (1; +∞) вторая производная положительна, то на этих интервалах функция выпукла вниз.

Так как на интервале (-1; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точки х = 1 и х = -1 вторая производная меняет знак, то эти точки являются точками перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервалах (-∞; -1), (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1, х = -1 – точки перегиба.

Пример 2.Найти точки перегиба функции у=sinх

Найдем вторую производную заданной функции

Приравняем её к нулю и найдем корни полученного уравнения -sinх=0

В промежутках

Функция у=sinх принимает положительные значения, следовательно, У»= -sinх 0. Значит, в точках вторая производная меняет знак и в этих точках график функции у=sinх имеет перегиб

Ответ: точка перегиба

Пример 3.Точка движется по закону S(t) = 3t 4 – 8t 3 + 2t – 3. В какой момент времени ускорение точки будет равно 48?

Ускорение — это вторая производная s(t).

Найдем уравнение ускорения.

v=S'(t) = 12t 3 – 24t 2 + 2

a= S»(t) = 36t 2 – 48t

Остается подставить вместо ускорения его значение равное 48 и решить уравнение.

При решении один корень получается отрицательный, чего не может быть по условиям задачи, а второй корень равен 2

Пример 4. Найдите интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз и точки перегиба функции f(x) = x 3 – 6xlnx.

Проверьте свое решение.

  1. D(f) = (0; +∞)
  2. f (x) = (x 3 – 6xln x)

  1. f (x) = 0 при х = 1, х = -1.

f (x) не существует при х = 0.

С учетом области определения функции, х = 1

  1. Так как на интервале (1; +∞) вторая производная положительна, то на этом интервале функция выпукла вниз.

Так как на интервале (0; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точку х = 1 вторая производная меняет знак, то эта точка является точкой перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервале (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

Исследование функции на выпуклость вверх и выпуклость вниз
с помощью второй производной

Выпуклые вверх функции
Выпуклые вниз функции
Вторая производная функции
Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции
Точки перегиба
Необходимые условия для существования точки перегиба
Достаточные условия для существования точки перегиба

Выпуклые вверх функции

Определение 1. Функцию y = f (x) называют выпуклой вверх на интервале (a, b) , если для любых двух точек таких, что x1 график функции y = f (x) расположен выше отрезка, соединяющего точки A1 = (x1; f (x1)) и A2 = (x2; f (x2)) .

Функция, график которой изображен на рисунке 1, выпукла вверх на интервале (a, b) .

Пример 1. Примером функции, выпуклой вверх на , является функция y = – x 2 (рис. 2).

Выпуклые вниз функции

Определение 2. Функцию y = f (x) называют выпуклой вниз на интервале (a, b) , если для любых двух точек таких, что x1 график функции y = f (x) расположен ниже отрезка, соединяющего точки A1 = (x1; f (x1)) и A2 = (x2; f (x2)) .

Функция, график которой изображен на рисунке 3, выпукла вниз на интервале (a, b) .

Пример 2. Примером функции, выпуклой вниз на , является функция y = x 2 (рис. 4).

Вторая производная функции

Определение 3. Если у функции y = f (x) существует производная в некоторой точке x , то эту производную часто называют первой производной или производной первого порядка функции y = f (x) в точке x .

Пусть у функции y = f (x) существует производная во всех точках . Тогда, вычисляя в каждой точке производную f ‘ (x) , мы получим функцию y = f ‘ (x). Если у функции y = f ‘ (x) существует производная в некоторой точке x интервала (a, b), то эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции y = f (x) в точке x .

Для производной второго порядка y = f (x) используются обозначения:

Точно так же, как это было сделано при определении второй производной функции f (x), можно определить и производные более высоких порядков: третью производную, четвертую производную и т.д. (конечно же, при условии, что они существуют).

Достаточные условия выпуклости вверх и выпуклости вниз функции

При исследовании направления выпуклости функции (выпуклость вверх или выпуклость вниз) важную роль играет вторая производная этой функции.

Утверждение 1. Если функция f (x) имеет на интервале (a, b) вторую производную, причем для всех выполнено условие

то функция f (x) выпукла вниз на интервале (a, b) .

Утверждение 2. Если функция f (x) имеет на интервале (a, b) вторую производную, причем для всех выполнено условие

Доказательства утверждений 1 и 2 выходят за рамки школьного курса математики и здесь не приводятся.

Пример 3. Функция y = ln x на интервале удовлетворяет условию

В силу утверждения 2 отсюда следует, что функция y = ln x выпукла вверх (рис. 5) на всей своей области определения .

Пример 4. Функция y = e x на интервале удовлетворяет условию

и, в силу утверждения 1, функция y = e x выпукла вниз (рис. 6) на всей своей области определения .

Точки перегиба

Определение 4. Пусть функция y = f (x) определена на некотором интервале (a, b) , содержащем точку x . Говорят, что при переходе через точку x функция f (x) меняет направление выпуклости, если на одном из интервалов

Определение 5. Пусть функция y = f (x) определена на некотором интервале (a, b) , содержащем точку x , а у графика функции в точке (x; f (x)) существует касательная. Если функция f (x) при переходе через точку x меняет направление выпуклости, то точку x называют точкой перегиба функции f (x) .

Замечание 1 . Если x – точка перегиба функции y = f (x), то график функции y = f (x) при переходе через точку x переходит с одной стороны от касательной в точке (x; f (x)) на другую сторону от касательной, то есть «перегибается» через касательную.

Пример 5. Рассмотрим функцию y = x 3 , график которой изображен на рисунке 7.

то прямая y = 0 (ось абсцисс Ox ) является касательной к графику функции y = x 3 в точке (0; 0).

Поэтому > 0 при x > 0 и при x Таким образом, функция y = x 3 выпукла вверх при x и выпукла вниз при x > 0 , и точка x = 0 является точкой перегиба графика функции y = x 3 . График функции y = x 3 при переходе через точку x = 0 переходит из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость, то есть «перегибается» через касательную y = 0 .

Необходимые условия для существования точки перегиба

Замечание 2. Условия существования точки перегиба, сформулированные в утверждении 3, являются необходимыми, но не являются достаточными.

Действительно, рассмотрим функцию y = x 4 , график которой изображен на рисунке 8.

Вычисляя вторую производную этой функции

замечаем, что y » (0) = 0 , однако точка x = 0 не является точкой перегиба графика функции y = x 4 , так как функция y = x 4 выпукла вниз, как при x так и при x > 0 .

Достаточные условия для существования точки перегиба

Утверждение 4. Пусть функция y = f (x) определена на некотором интервале (a, b) , содержащем точку x , имеет первую производную в каждой точке интервала (a, b) и имеет вторую производную в каждой точке интервала (a, b) за исключением, быть может, самой точки x .

Если для точек выполнено условие:

либо выполнено условие:

Другими словами, точка x является точкой перегиба графика функции f (x) , если при переходе через точку x вторая производная функции меняет свой знак.

Пример 6. Найти интервалы, на которых функция

выпукла вверх, а также интервалы, на которых эта функция выпукла вниз. Определить точки перегиба.

Решение. Вычислим вторую производную функции:

Отсюда вытекает, что вторая производная существует во всех точках и обращается в нуль в точках x = 1 и x = 2 . Воспользуемся методом интервалов и изобразим на рисунке 9 диаграмму знаков второй производной (x)

При переходе через точку x = 1 вторая производная функции (x) меняет знак с «+» на «–» . Следовательно, x = 1 – точка перегиба графика функции.

При переходе через точку x = 2 вторая производная функции (x) меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, x = 2 также является точкой перегиба графика функции.

При и при вторая производная функции (x) > 0, следовательно, функция y (x) выпукла вниз на этих интервалах.

При вторая производная функции (x) следовательно, функция y (x) выпукла вверх на интервале (1, 2) .

Алгебра

Лучшие условия по продуктам от Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Производные некоторых элементарных функций

Ранее мы для вычисления производных использовали ее определение. То есть каждый раз мы давали функции некоторое приращение ∆х, потом находили соответствующую ему величину ∆у, далее составляли отношение ∆у/∆х, после чего находили предел этого отношения при ∆х →0. Выполнение такого алгоритма довольно трудоемко. Поэтому на практике используются специальные формулы для вычисления производных.

Нам известно несколько основных функций, которые в математике чаще называют элементарными. Например, элементарными являются линейная функция, степенная, показательная, логарифмическая. Также существует несколько различных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс), которые тоже считаются элементарными. Попытаемся вычислить для них производные.

Начнем с линейной функции. В общем случае она выглядит так:

где k и b – некоторые постоянные числа.

Выберем произвольную точку х и дадим ей приращение ∆х, в результате чего мы придем в новую точку (х + ∆х). Вычислим значения линейной функции в этих двух точках:

Теперь мы можем найти приращение функции ∆у:

Находим отношение ∆у/∆х:

Получилось, что это отношение не зависит ни от приращения ∆х, ни от выбора исходной точки х. Естественно, что предел этого отношения при ∆х→0 (то есть производная) также будет равен k:

Задание. Вычислите производную функции у = 4х + 9.

Обратите внимание, что в рассмотренном примере запись у′ = 4 означает функцию. Просто при любом значении х она принимает одно и то же значение, равное 4. График производной функции будет выглядеть так:

Рассмотрим два особых частных случая линейной функции. Пусть k = 1 и b = 0, тогда она примет вид у = х. Её производная тогда будет равна 1:

Теперь предположим, что коэффициент k = 0. Тогда функция примет вид

где С – некоторое постоянное число, то есть константа (большая буква Св таких случаях используется из-за латинского термина constanta). Производная такой функции будет равна нулю:

Задание. Найдите вторую производную функции у = 9х + 2.

Решение. Сначала вычислим первую производную:

Очень легко объяснить, почему производная константы равна нулю. Представим себе, что закон движения некоторого тела выглядит как s(t) = C, например, s(t) = 5. Это значит, что тело в любой момент времени находится в точке, находящейся в 5 метрах от какого-то начала отсчета. То есть тело находится в одной и той же точке, а это значит, что оно не двигается. Тогда его скорость равна нулю. Но производная – это и есть скорость, значит, она также равна нулю.

Далее вычислим производную для функции у = 1/х. Выберем некоторую точку х и дадим ей приращение ∆х. В результате имеем две точки с координатами х и (х + ∆х). Вычислим значение функции в каждой из них:

Осталось найти предел данного отношения при ∆х→0. Ясно, что при этом множитель х + ∆х будет стремится к х, то есть

Задание. Вычислите производные функции

Обратите внимание, что производная функции у = 1/х оказывается отрицательной при любом значении х (кроме нуля, для которого производную посчитать нельзя, так как получится деление на ноль). Это должно означать, что функция убывает в каждой своей точке, а любая касательная к ней образует с осью Ох тупой угол наклона. И это действительно так:

Мы разобрали несколько простейших примеров того, как находить формулы производных. Для этого используется понятие предела функции. Для вывода всех подобных формул требуется хорошо знать тему вычисления пределов, которая не изучается детально в школе. Поэтому мы просто дадим следующие формулы без доказательств.

Начнем со степенной функции у = х n , где n– некоторое постоянное число. Её производная вычисляется по формуле:

Приведем примеры использования этой формулы:

Задание. Найдите производную функции у = х 6 в точке х = 10.

Задание. Движение самолета при разгоне описывается законом движения s(t) = t 3 . Найдите его скорость через 5 секунд после начала разгона.

Решение. Скорость самолета в любой момент времени равна производнойs′(t). Найдем её:

Заметим, что используемая нами формула работает и в том случае, если показатель степени является отрицательным или дробным числом. Действительно, ранее мы вывели формулу

Задание. Вычислите производную функции

Задание. Определите, в какой точке необходимо провести касательную к графику функции

чтобы она образовывала с осью Ох угол в 45°?

Решение. Тангенс угла наклона касательной равен производной. Известно, что tg 45° = 1. Значит, нам надо найти такую точку х, в которой значение производной квадратного корня будет равно единице. Производная вычисляется по формуле:

Далее изучим формулы производных для тригонометрических функций. Они выглядят так:

Рассмотрим несколько примеров использования этих формул.

Задание. Найдите производную функции у = cosx в точке х = π.

Решение. Мы знаем, что

Задание. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику у = sinx в начале координат.

Решение. Производная синуса вычисляется по формуле:

Получается, что тангенс угла наклона также равен единице. Это значит, что сам угол равен 45°. Построение показывает, что это действительно так:

Задание. Найдите производную функции у = tgx в точке х = π/6.

Решение. Для тангенса используется формула:

Далее рассмотрим показательную и логарифмическую функцию. Их производные рассчитываются по следующим формулам:

Обратите внимание, что в этих формулах появился натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является число е. Именно из-за наличия натурального логарифма в формулах дифференцирования он играет особо важную роль в математике и имеет отдельное обозначение. Вычислим несколько производных с помощью приведенных формул:

Напомним, что справедлива формула

Стоит обратить внимание, что функции у = е х при дифференцировании не меняется. Эта особенность функции также имеет огромное значение в математическом анализе.

Задание. Найдите угол наклона касательных, проведенных к графику у = е х в точке (0; 1) и к графику у = lnx в точке (1; 0).

Решение. Используем формулы производных:

Получили, что тангенс наклона касательной равен 1. Из этого следует, что угол наклона касательной равен 45°. Далее найдем производную натурального логарифма при х = 1:

Производная снова равна 1, значит, угол наклона также составит 45°, что подтверждается рисунком:

Задание. Вычислите производную функции у = 2 х при х = 3.

Решение. Используем формулу

Сведем использованные нами равенства в одну таблицу производных основных функций:

Основные правила дифференцирования

До этого мы рассматривали довольно простые, то есть стандартные функции, для каждой из которых производную можно узнать из справочника или таблицы. Но что делать, если нам потребовалось продифференцировать функцию, которая состоит из нескольких основных? Например, что делать с функциями у = 5х 2 + 6х – 3 или у = x•sinx?

Все более сложные функции можно получить из нескольких простых, комбинируя их. Так, функция у = х 3 + х 2 получается сложением функций у = х 3 и у = х 2 , а функция у = (lnx)•(cosx) – произведением функций у = lnx и у = сosx.

Есть несколько правил, которые позволяют находить производные в таких случаях. Мы не будем их доказывать, а просто дадим их формулировки. Также будем нумеровать правила. Первое из них помогает находить производную сумму функций.

В данном случае u и v – это просто обозначение каких-то произвольных функций. Рассмотрим пример. Пусть надо найти производную функции

Правило работает и в том случае, если сумма представляет собой сумму не двух, а большего числа слагаемых:

Следующее правило позволяет выносить постоянный множитель за знак производной:

Покажем использование этого правила:

Действительно, зная эти формулы и первые два правила вычисления производных, мы можем записать, что

Задание. Вычислите значение производной функции у = 9х 3 + 7х 2 – 25х + 7 в точке х = 1.

Решение. Пользуясь правилами дифференцирования, находим производную:

Несколько сложнее обстоит дело с дифференцированием функций, получающихся при перемножении простых функций. В таких случаях используется следующее правило:

Предположим, надо найти производную для функции у = х 2 •sinx. Её можно представить как произведение u•v, где

Примечание. В последнем случае мы в конце примера использовали формулу косинуса двойного угла:

Заметим, что иногда одно и то же задание с производной можно решить по-разному, используя или не используя правило для вычисления производной произведения функций.

Задание. Найдите производную функции у = х 2 •(3х + х 3 ). Вычислите ее значение при х = 1.

Решение. Функция у представляет собой произведение более простых функций u•v, где

Задание. Продифференцируйте функцию

Решение. Здесь перед нами функция, которая представляет собой произведение сразу трех множителей. Что делать в таком случае? Надо всего лишь добавить скобки и их помощью оставить только два множителя (один их них окажется «сложным»):

Довольно сложно выглядит формула для поиска производной дроби:

Например, пусть надо найти производную функции

С помощью данного правила можно доказать некоторые равенства. Так, ранее мы уже записали (без доказательства) формулы производных тригонометрических функций:

Оказывается, формула для тангенса может быть выведена из формул для синуса и косинуса. Действительно, тангенс можно записать в виде дроби:

Задание. Найдите, в каких точках надо провести касательную к графику дробно-линейной функции

чтобы эта касательная образовала с осью Ох угол в 135°.

Решение. Угол будет равен 135° только тогда, когда значение производной будет равно (– 1) (так как tg 135° = – 1). Поэтому сначала найдем производную. В данном случае следует использовать правило 4, так как функция у явно записана как дробь:

Получили два значения х. Построив график и проведя касательные, мы убедимся, что они действительно образуют с осью Ох угол 135°:

Заметим, что иногда можно избавиться от необходимости использовать правило 4, если дифференцируемую функцию можно преобразовать. При этом часто помогает использование отрицательных степеней. Пусть надо продифференцировать функцию

Напрашивается решение использовать правило 4.И такой путь позволит получить правильное решение, хотя и будет несколько трудоемким. Однако можно преобразовать функцию:

У нас получилось произведение, а потому можно использовать правило 3, которое представляется более простым:

Производная сложной функции

«Сконструировать» громоздкую функцию из нескольких простых можно не только с помощью арифметических действий. Например, возьмем функции

В обоих случаях мы получили некоторую функцию, продифференцировать которую с помощью уже известных нам правил не получится. Функции, сконструированные таким образом, называются сложными. Есть универсальная формула, позволяющая находить производную сложной функции:

Посмотрим, как пользоваться эти правилом. Пусть надо вычислить производную функции

Она сконструирована из функции у = e x и у = sinx, причем вторая подставлена в первую. Это значит, что первую можно обозначить буквой u, а вторую – буквой v (если использовать обозначения в правиле 5):

Задание. Найдите у′, если у = sin 2x.

Решение. На этот раз в качестве исходной функции выступает

Убедиться в справедливости правила 5 можно на примере функции

Её можно продифференцировать двумя разными способами. Сначала попробуем просто избавиться от квадрата в исходной функции, используя формулу квадрата суммы:

В результате оба способа вычисления производной дали одинаковый ответ.

Задание. Найдите производную сложной функции у = (2х + 5) 1000 .

Решение. В данном случае мы рассматриваем комбинацию следующих функций:

Теперь мы умеем вычислять производные почти любых функций, которые можно записать с помощью элементарных функций и арифметических операций. При этом нам не надо использовать определение понятия производной и вычислять какие бы то ни было пределы. Достаточно знать производные основных функций и несколько (всего лишь 5) правил дифференцирования. Навыки дифференцирования функций пригодятся в будущем при решении практических задач, связанных с производными.

Решение задач по математике онлайн

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.

Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>
С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите выражение функции Найти производную функции f(x)

Немного теории.

Определение производной

Определение. Пусть функция ( y = f(x) ) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку ( x_0 ). Дадим аргументу приращение ( Delta x ) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции ( Delta y ) (при переходе от точки ( x_0 ) к точке ( x_0 + Delta x ) ) и составим отношение ( frac ). Если существует предел этого отношения при ( Delta x rightarrow 0 ), то указанный предел называют производной функции ( y=f(x) ) в точке ( x_0 ) и обозначают ( f'(x_0) ).

Для обозначения производной часто используют символ ( y’ ). Отметим, что ( y’ = f(x) ) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией ( y = f(x) ), определенная во всех точках (x), в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции ( y = f(x) ).

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции ( y = f(x) ) в точке с абсциссой ( x=a ) можно провести касательную, непараллельную оси (y), то ( f(a) ) выражает угловой коэффициент касательной:
( k = f'(a) )

Поскольку ( k = tg(a) ), то верно равенство ( f'(a) = tg(a) ) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция ( y = f(x) ) имеет производную в конкретной точке ( x ):
$$ lim_ frac = f'(x) $$
Это означает, что около точки (x) выполняется приближенное равенство ( frac approx f'(x) ), т.е. ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ).
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке (x).
Например, для функции ( y = x^2 ) справедливо приближенное равенство ( Delta y approx 2x cdot Delta x ). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение ( x ), найти ( f(x) )
2. Дать аргументу ( x ) приращение ( Delta x ), перейти в новую точку ( x+ Delta x ), найти ( f(x+ Delta x) )
3. Найти приращение функции: ( Delta y = f(x + Delta x) — f(x) )
4. Составить отношение ( frac )
5. Вычислить $$ lim_ frac $$
Этот предел и есть производная функции в точке (x).

Если функция (y=f(x)) имеет производную в точке (x), то ее называют дифференцируемой в точке (x). Процедуру нахождения производной функции (y=f(x)) называют дифференцированием функции (y=f(x)).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция (y=f(x)) дифференцируема в точке (x). Тогда к графику функции в точке ( M(x; ; f(x)) ) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен ( f'(x) ). Такой график не может «разрываться» в точке (M), т. е. функция обязана быть непрерывной в точке (x).

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция (y=f(x)) дифференцируема в точке (x), то выполняется приближенное равенство ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ). Если в этом равенстве ( Delta x ) устремить к нулю, то и ( Delta y ) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например: функция ( y=|x|) непрерывна везде, в частности в точке (x=0), но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция ( y=sqrt[3] ) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке (x=0). И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке (x=0). Но в этой точке касательная совпадает с осью (y), т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид (x=0). Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и ( f'(0) )

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если (C) — постоянное число и ( f=f(x), ; g=g(x) ) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

Примеры вычисления производных высших порядков явных функций

Определение производных высших порядков

Здесь мы рассматриваем случай, когда переменная y зависит от переменной x явным образом:
.
Дифференцируя функцию по переменной x , получаем производную первого порядка, или просто производную:
.
В результате получаем новую функцию , которая является производной функции . Дифференцируя эту новую функцию по переменной x , получаем производную второго порядка:
.
Дифференцируя функцию , получаем производную третьего порядка:
.
И так далее. Дифференцируя исходную функцию n раз, получаем производную n -го порядка или n-ю производную:
.

Производные могут обозначаться штрихами, римскими цифрами, арабскими цифрами в скобках или дробью из дифференциалов. Например, производные третьего и четвертого порядков могут обозначаться так:
;
.

Ниже приведены формулы, которые могут быть полезными при вычислении производных высших порядков.

Полезные формулы производных n-го порядка

Производные некоторых элементарных функций:
;
;
;
;
.

Производная суммы функций:
,
где – постоянные.

Формула Лейбница производной произведения двух функций:
,
где
– биномиальные коэффициенты.

Пример 1

Найти производные первого и второго порядка следующей функции:
.

Находим производную первого порядка. Выносим постоянную за знак производной и применяем формулу из таблицы производных:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь .
Применяем правило дифференцирования сложной функции и используем найденные производные:
.
Здесь .

Итак, мы нашли производную первого порядка:
.
Чтобы найти производную второго порядка, нам нужно найти производную от производной первого порядка, то есть от функции:
.
Чтобы не путаться с обозначениями, обозначим эту функцию буквой :
(П1.1) .
Тогда производная второго порядка от исходной функции является производной от функции :
.

Находим производную от функции . Это проще сделать с помощью логарифмической производной. Логарифмируем (П1.1):
.
Теперь дифференцируем:
(П1.2) .
Но – это постоянная. Ее производная равна нулю. Производную от мы уже нашли. Находим остальнве производные по правилу дифференцирования сложной функции.
;
;
.
Подставляем в (П1.2):

.
Отсюда
.

Пример 2

Найти производную третьего порядка:
.

Находим производную первого порядка. Для этого выносим постоянную за знак производной, используем таблицу производных и применяем правило нахождения производной сложной функции .

.
Здесь .
Итак, мы нашли производную первого порядка:
.

Находим производную второго порядка. Для этого находим производную от . Применяем формулу производной дроби.
.
Производная второго порядка:
.

Теперь находим искомую производную третьего порядка. Для этого дифференцируем .
;
;

.

Производная третьего порядка равна
.

Пример 3

Найти производную шестого порядка следующей функции:
.

Если раскрыть скобки, то будет ясно, что исходная функция является многочленом степени . Запишем ее в виде многочлена:
,
где – постоянные коэффициенты.

Далее применим формулу n-й производной степенной функции:
.
Для производной шестого порядка ( n = 6 ) имеем:
.
Отсюда видно, что при . При имеем:
.

Используем формулу производной суммы функций:

.
Таким образом, чтобы найти производную шестого порядка исходной функции, нам надо найти только коэффициент многочлена при старшей степени . Находим его, перемножая старшие степени в произведениях сумм исходной функции:

.
Отсюда . Тогда
.

Пример 4

Найти n-ю производную функции
.

Пример 5

Найти n-ю производную следующей функции:
,
где и – постоянные.

В этом примере вычисления удобно выполнять с использованием комплексных чисел. Пусть мы имеем некоторую комплексную функцию
(П5.1) ,
где и – функции от действительной переменной x ;
– мнимая единица, .
Дифференцируя (П.1) n раз, имеем:
(П5.2) .
Иногда проще найти n-ю производную от функции . Тогда n-е производные функций и определяются как действительная и мнимая части от n-й производной :
;
.

Применим этот прием для решения нашего примера. Рассмотрим функцию
.
Здесь мы применили формулу Эйлера
,
и ввели обозначение
.
Тогда n-я производная исходной функции определяется по формуле:
.

Найдем n-ю производную функции
.
Для этого применим формулу:
.
В нашем случае
.
Тогда
.

Итак, мы нашли n-ю производную комплексной функции :
,
где .
Найдем действительную часть функции .
Для этого представим комплексное число в показательной форме:
,
где ;
; .
Тогда
;

.

Пусть , .
Тогда ;
.
При ,
,
,
.
И мы получаем формулу n-й производной косинуса:
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-12-2016

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: