Как найти точку пересечения высот треугольника

Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра

Что такое высота

Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.

У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.

Свойства ортоцентра

Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.

Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:

  • внутри;
  • снаружи;
  • в вершине (у прямоугольных треугольников)

Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.

Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:

  • биссектрис,
  • высот,
  • медиан.

Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.

Полезные факты

Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.

Пусть:

  • H — ортоцентр в ABC;
  • О — центр описанной окружности.

Тогда:

  • окружности, описанные вокруг АБС, АНВ, CHB, HCA, равны:
  • отрезок BH вдвое длиннее отрезка АС;
  • середины отрезков AC и BH разделены расстоянием, равным радиусу описанной окружности.

Задача Фаньяно

Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.

Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.

Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:

Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.

Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.

История изучения

Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».

Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.

В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.

Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.

Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.

Точка пересечения высот треугольника – уравнение, примеры

Точка пересечения высот треугольника относится к одной из трех замечательных точек треугольника. Замечательными эти точки зовутся не за красоту, а за отношение к золотому сечению треугольника, которое характеризует данную фигуру.

Высота

Что такое высота? Высота это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. Может получиться, что высота будет падать на продолжение стороны, как это бывает с тупоугольными треугольниками.

Рис. 1. Высота в треугольнике.

Точка пересечения высот

У любого треугольника есть три высоты, и они всегда пересекаются в одной точке. Эта точка является одним из 3 центров треугольника и зовется ортоцентром.

Еще со времен Древней Греции приставкой «орто» обозначали перпендикуляр. Ортогоналями звались перпендикулярные прямые.

Рис. 2. Ортогональные прямые.

Ортоцентр имеет три варианта расположения в зависимости от вида треугольника:

  • Внутри фигуры. В остроугольных треугольниках точка пересечения высот всегда находится внутри фигуры. Это обусловлено тем, что все высоты в таком треугольнике внутренние.
  • Совпадает с вершиной. Этот случай характерен для прямоугольных треугольников. В таких треугольниках две из трех высот будут совпадать со сторонами. Если быть точнее, то совпадающие стороны это катеты. Остается одна высота, которая будет опускаться из вершины при остром угле. Именно эта вершина и будет ортоцентром треугольника.
  • Вне фигуры. Внешнее расположение ортоцентра возможно только в тупоугольном треугольнике. Для того, чтобы получить ортоцентр такого треугольника, иногда потребуется продлить высоты до пересечения с внешней высотой. Почему? Потому что внешняя высота проходит за пределами треугольника и опускается на продолжение одной из сторон, а две внутренние стороны всегда ограничены треугольником. Поэтому без дополнительных построений ортоцентр тупоугольного треугольника не найти.

Рис. 3. Точка пересечения высот треугольника.

Золотое сечение треугольника

Золотое сечение треугольника это маленький треугольник внутри фигуры, который определяется как пересечение трех центров треугольника.

Три центра треугольника это:

  • Точка пересечения биссектрис
  • Точка пересечения высот
  • Точка пересечения медиан.

Золотое сечение иногда может вырождаться в прямую или даже точку. В равнобедренному треугольнике точка пересечения высот и медиан совпадает, в результате для построения золотого сечения понадобится только 2 точки и треугольник выродится в отрезок.

О центрах треугольника существует целая онлайн энциклопедия. Список центров треугольника и свойств каждого из них был начат Карлом Кемберлингом в 1994 году. Онлайн ресурс пополняется все новыми и новыми данными по мере их открытия в высшей математике. В школьном курсе рассматривается только 3 центра треугольника.

В правильном треугольнике и вовсе каждая высота будет совпадать с соответствующей медианой, биссектрисой и высотой. Значит, все три центра треугольника совпадут и золотым сечением треугольника будет точка.

Обратите внимание, что нельзя составить уравнение точки пересечения высот треугольника. Можно составить только уравнение прямой. Например, составить два уравнения высот, затем приравнять их и найти координату точки пересечения.

Что мы узнали?

Мы узнали, в каких построениях участвует точка пересечения высот треугольника. Поговорили о случаях, когда эта точка совпадает с другими центрами треугольника, выяснили особенности расположения ортоцентра в разных видах треугольников.

Еще раз о замечательных точках треугольника

I. Точка пересечения высот (ортоцентр)

Теорема 1. Точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC делит его высоту BB1 на отрезки, отношение которых, считая от вершины, равно

.

1) D BC1O – прямоугольный, и (рис. 1)

2) D BC1C – прямоугольный, и

Замечание. Если один из углов тупой, то в (*) соответствующий косинус нужно взять по модулю.

II. Точка пересечения биссектрис (ицентр)

Теорема 2. Если Oточка пересечения биссектрис треугольника ABC, то

где AA1 – биссектриса угла A, AB = c, BC = a, CA = b (рис. 2).

Доказательство. 1) В D ABC AA1 – биссектриса Р A, поэтому AB : AC = BA1 : CA1 = BA1 : (BCBA1) и

2) В D ABA1 BO – биссектриса Р B, поэтому AO : OA1 = BA : BA1

и

III. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра и ицентра

1. Расстояние от вершины до ортоцентра

Из 2) доказательства теоремы 1 следует, что

(для треугольников произвольных по виду) или

Пример 1. Найти расстояние от вершины B треугольника ABC до ортоцентра, если

По теореме косинусов Тогда

Поэтому BO = 9.

2. Расстояние от вершины до точки пересечения биссектрис треугольника (ицентра, центра вписанной окружности)

Из теоремы 2 следует, что

Так как то получим

Можно доказать, что AO 2 = bc – 4Rr.

Пример 2. В треугольнике ABC AB = 8 см, BC = 7 см, CA = 6 см. Найти расстояние от точки A до точки пересечения биссектрис.

Решение. Найдем биссектрису угла A: AA1 = 6 см.

IV. Расстояние между «замечательными» точками

Читайте также  Какой энергетический напиток лучше

1. Между центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан (центр тяжести) – рис. 3.

Способ I (векторный). Пусть

1) По свойству медиан имеем

2) Из (**) следует, что AOB : OBA2 = (b + c) : a, поэтому AOB : AA2 = (b + c) : (b + c + a). По свойству биссектрисы треугольника AC : AB = CA2 : A2B, тогда

Тем самым получим

3) Из рис. 3

4) Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины 2bccos a = b 2 + c 2 – a 2 ,

и можно получить равенство

Одним из упрощений равенства будет

Пример 3. AC = 6, AB = 8, BC = 7. Найти расстояние между центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан.

Решение. Из теоремы 2 следует, что

и OAB : AA2 = 2 : 3.

По свойству биссектрисы треугольника AC : AB = CA2 : A2B,

тогда

Следовательно,

Тогда

Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины и 2bccos a = 51, то

Ответ:

Замечание. В данном примере можно было сделать вывод, что OMOB C A1A2, так как OAB : AA2 = 2 : 3 = AOM : AA1 и поэтому .

Способ II. 1) Найти медиану

2) Найти биссектрису

3)

4) В D A1AA2 известны длины всех сторон, поэтому можно найти cos F A1AA2.

5) В D OMAOB по теореме косинусов можно найти OMOB.

Пример 4. AC = 9, AB = 18, BC = 21. OMOB – ?

Решение. 1) Медиана

2) Биссектриса

3)

4)

5) В D OMAOB по теореме косинусов OMOB2 = .

Ответ:

2. Между центром описанной окружности и точкой пересечения медиан (центр тяжести)

O – центр описанной окружности, OM – точка пересечения медиан, A1 и C1 – середины сторон соответственно AB и BC (рис. 4 и 5).

1) В D C1KB

Тогда CK=a-0,5c cos b

2) D CC1K подобен D COMN. Тогда CN : CK = NOM : KC1 = 2 : 3,

поэтому

3) Из 2)

4) F A = a , тогда F COB = 2 a , поэтому F COA— = a , OA1 = Rcos a .

5)

6) В D OPOM по теореме Пифагора

Известно, что 2accos b = a 2 + c 2 – b 2 , 2bccos a = b 2 + c 2 – a 2 (теорема косинусов);

Пример 5. Стороны треугольника AB = 30, BC = 28, CA = 26. Найти расстояние между центром описанной около треугольника окружности и точкой пересечения медиан.

Решение. 1) Найдем площадь треугольника по формуле Герона,

2) sin b = .

3) В D C1KB BC1 = 15, C1K = 12, KB = 9, тогда CK = 19.

4) D CC1K подобен њ COMN. Тогда CN : CK = NOM : KC1 = 2 : 3,

поэтому

5)

6)

7) В D OPOM по теореме Пифагора

Ответ:

3. Между центром описанной окружности и центром вписанной окружности

O1 – центр описанной, O2 – центр вписанной окружностей (рис. 6 и 7).

1) F A = a , F CO1B = 2 a , поэтому F BO1K = a , O1K = Rcos a и

2) Так как O2 – центр вписанной окружности, то O2M = r.

3) Так как из точек A, B, C проведены по две касательные к описанной окружности, то отрезки касательных, концами которых являются точки касания и вершины треугольника, равны и можно показать, что BK = pb.

Поэтому

4) O1P = Rcos a – r.

5) В D O1PO2 (рис. 7) по теореме Пифагора имеем

O1O2 2 = O1P 2 + O2P = O1P 2 + KM 2 ,

Тем самым формула Эйлера O1O2 2 = R 2 – 2Rr.

Теорема о пересечении высот треугольника

Урок 33. Геометрия 8 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Теорема о пересечении высот треугольника»

Сегодня на уроке мы продолжим изучение темы замечательные точки треугольника и познакомимся с теоремой о пересечении высот треугольника.

На прошлых уроках мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке. До этого мы также доказали, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, таким же свойством обладают и высоты треугольника.

Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Рассмотрим .

Значит, четырехугольник параллелограмм.

Значит, четырехугольник параллелограмм.

Точка является серединой отрезка серединный перпендикуляр .

Точка является серединой отрезка серединный перпендикуляр .

Точка является серединой отрезка серединный перпендикуляр .

Значит, высоты пересекаются в одной точке, в точке .

Что и требовалось доказать.

В любом треугольнике медианы и биссектрисы принадлежат самому треугольнику. Чего нельзя сказать о высотах треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Точку их пересечения называют ортоцентром треугольника. В остроугольном и прямоугольном треугольниках высоты принадлежат треугольнику. Их точка пересечения – ортоцентр – в остроугольном треугольнике находится внутри треугольника, в прямоугольном треугольнике находится в прямом угле. А вот в тупоугольном треугольнике точка пересечения высот – ортоцентр – находится вне треугольника.

Рассмотрим тупоугольный . У него – тупой, – высота. Докажем, что точка – основание высоты – не принадлежит отрезку .

Доказательство.

Пусть точка .

.

Что не может быть.

Точка пересечения тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Итак, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.

Из истории замечательных точек треугольника. В четвертой книге «Начал» Евклид решает задачу: «Вписать круг в данный треугольник». Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга.

Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В «Началах» не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.

Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы «замечательными» или «особенными» точками треугольника.

Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – «геометрии треугольника» или «новой геометрии треугольника», одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер.

На этом уроке мы узнали, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эту точку называют ортоцентром и она является замечательной точкой треугольника.

Четыре замечательные точки треугольника

  • Что такое замечательные точки треугольника
  • Четыре замечательные точки треугольника
    • Точка пересечения медиан треугольника
    • Точка пересечения биссектрис треугольника
    • Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника
    • Точка пересечения высот треугольника
  • Примеры решения задач

Что такое замечательные точки треугольника

Замечательные точки треугольника — это точки, расположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке рассматривать его стороны и углы.

Всего замечательных точек четыре. Две из них открыл Евклид, вписывая в треугольник окружности, третья, точка пересечения медиан, обнаружена Архимедом. Четвертая, в которой пересекаются высоты треугольника, не упоминалась в трудах Евклида, но описывалась в трудах его современников. Возможно, Евклид и Архимед просто упорядочили и записали доказательства теорем, известных задолго до них.

Особенность замечательных точек в том, что они в любом треугольнике являются пересечением трех линий, при этом их свойства не меняются:

  • биссектрисы пересекаются в центре вписанного круга;
  • перпендикуляры от середин сторон пересекаются в центре описанного круга;
  • высоты пересекаются в ортоцентре, точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника, находятся на описанном круге;
  • медианы пересекаются в барицентре (он же центроид, или геометрический центр).

В XVIII веке математик Леонард Эйлер, исследуя геометрию треугольников, доказал, что три из этих точек — ортоцентр, барицентр и центр описанного круга — всегда расположены на одной линии. Она называется прямой Эйлера. Точки стали называть «замечательными» или «особенными».

Четыре замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан треугольника

В ней находится центр тяжести однородной треугольной пластины, также она является средним арифметическим положений всех точек треугольника.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Медианы треугольника пересекаются в его геометрическом центре и делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершин.

Доказательство

Обозначим точку пересечения медиан О и проведем среднюю линию треугольника (А^1В^1) .

Отрезок (А_1В_1) параллелен (АВ) , поэтому углы 1, 2, 3 и 4 равны друг другу. Таким образом, треугольники (АОВ) и (А_1ОВ_1) подобны по двум углам, и их стороны пропорциональны. (АВ = 2А_1В_1) , значит, (АО = 2А_1О) и (ВО = 2В_1О) , а точка О разделяет медианы на отрезки с отношением 2:1, считая от вершин. Аналогично она делит медиану (СС_1) .

Читайте также  Как написать доклад

Точка пересечения биссектрис треугольника

Точка пересечения трех биссектрис расположена на равном расстоянии от всех сторон треугольника и находится в центре вписанного в треугольник круга.

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Проведем из точки пересечения биссектрис (АА_1) и (ВВ_1) отрезки (ОК) , (ОL) и (ОМ) , перпендикулярные трем сторонам треугольника.

Согласно теореме о равной удаленности точек биссектрисы от сторон угла, ОК = ОМ и ОК = ОL. Соответственно, ОМ = ОL, точка О находится на равном расстоянии от сторон угла АСВ и расположена на биссектрисе. Таким образом, все три биссектрисы пересекутся в одной точке.

Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Линии, проходящие через середины сторон треугольника перпендикулярно к ним, пересекаются в центре круга, описанного вокруг треугольника. В остроугольном треугольнике точка пересечения перпендикуляров расположена внутри него, в тупоугольном — снаружи. Если треугольник прямоугольный, точка находится на гипотенузе.

Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, к которому он перпендикулярен.

Серединные перпендикуляры от сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Изобразим внутри треугольника АВС перпендикуляры m и n, отметим точку их пересечения О.

Согласно теореме о равной удаленности серединных перпендикуляров от концов отрезка, ОВ = ОА и ОВ = ОС. Соответственно, ОА = ОС, и точка О находится на одинаковом расстоянии от точек А и С. Таким образом, серединный перпендикуляр р к отрезку АС тоже будет проходить через точку О, и все три перпендикуляра пересекутся в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника

Высоты или их продолжения могут пересекаться как внутри треугольника, если он остроугольный, так и вне его, если он тупоугольный. Если треугольник прямоугольный, тогда ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Доказательство

Изобразим произвольный треугольник (АВС) и прямые (AA_1) , (BB_1) и (СС_1) , содержащие его высоты. Проведем через каждую вершину прямые, параллельные противоположным сторонам треугольника, получив треугольник ( A_2B_2C_2) . Точки А, В и С окажутся серединами его сторон. ( АВ = A_2C = В_2C) , так как эти отрезки являются противоположными сторонами параллелограммов (АВА_2С) и (АВСВ_2) . Соответственно, (С_2А = АВ_2) и (С_2В = ВА_2) .

Из построения следует, что отрезок (СС_1) перпендикулярен (А_2В_2) , (АА_1 perp В_2С_2) и (ВВ_1 perp А_2С_2) . Следовательно, прямые (АА_1) , (ВВ_1) и (СС_1) — серединные перпендикуляры сторон треугольника (А_2В_2С_2) , которые пересекутся в одной точке.

Примеры решения задач

Задача 1

Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треугольника АВС пересекаются в точке D, лежащей на стороне треугольника ВС. Докажите, что точка D — середина стороны ВС.

Решение

Изобразим треугольник АВС.

Все серединные перпендикуляры должны пересекаться в одной точке, если два из них уже пересеклись, третий тоже должен проходить через точку D. Таким образом, точка D является основанием третьего серединного перпендикуляра и расположена посередине стороны ВС.

Задача 2

Биссектрисы (AA_1) и (BB_1) треугольника АВС пересекаются в точке D. Найдите углы АСD и ВСD, если известно, что угол АDB составляет (136^circ) .

Решение

Поскольку биссектрисы пересекаются в точке D, луч СD является биссектрисой. Тогда

(angle АСD;=;angle BCD;=;136^circ;-;90^circ;=;46^circ)

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 4.29 (Голосов: 7 )

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Комплексное число — это выражение вида x=a+bcdot i, где a и b — вещественные числа, а i — так называемая «мнимая единица». Если возвести ее в квадрат, получится отрицательное число. Таким образом, она определяется равенством i=sqrt <-1>или i^2=-1. Извлечение корня Определение Корнем со степенью n, извлеченным из комплексного числа z называют то число w, у которого n-ая степень равна z и обозначается как sqrt[n]z. Не существует однозначного извлечения корня из комплексного числа, так как он имеет то количество значений, которое равно его степени. Тригонометрическая форма Если число z представлено в тригонометрической форме z=left|zright|cdotleft(cosleft(фright)+isinleft(фright)right), то значения корня n-ой степени находятся по формуле: sqrt[n]z=sqrt[n]cdot(cosleft(frac<ф+2nk>nright)+isinleft(frac<;ф+2nk>nright)). Где |z| — модуль комплексного числа, ф — аргумент, k — параметр, значения у которого 0,1,2…n-1. Если посмотреть на извлечение корня n-ой степени с точки зрения геометрии, центр окружности с радиусом sqrt[n]z расположен в точке О (0; 0), а все полученные значения, расположенные на ней, образуют правильный n-угольник (как это представлено на чертеже выше). Алгебраическая форма Если из данного числа z нужно извлечь корень n-ой степени, а он представлен в алгебраической или показательной форме, необходимо выполнить извлечение по пунктам: Представить число в тригонометрической форме: вычислить модуль left|zright| и аргумент (ф). Полученные значения применить в тригонометрической форме: z=left|zright|cdotleft(cosleft(фright)+isinleft(фright)right). Извлечь корни по формуле, приведенной выше. Алгоритм вычисления квадратного и кубического корня Задача на кубический корень Задача: Извлечь кубический корень sqrt[3]z, где z=frac12+frac12cdot i в алгебраической форме. Решение: Вспомним, что тригонометрическая форма записи комплексного числа выглядит так: z=left|zright|cdotleft(cosleft(фright)+isinleft(фright)right). По условию мы знаем, что a=frac12 и b=frac12. Можем вычислить исходное значение комплексного числа: r=sqrt=sqrt=sqrt=frac1. Теперь посчитаем аргумент исходного комплексного числа: ф=arg(z)=arctanleft(frac<1/2><1/2>right)=arctanleft(1right)=fracpi4. Далее подставим значения в тригонометрическую форму записи и получим: z=frac2cdotleft(cosleft(fracpi4right)+isinleft(fracpi4right)right). Мы знаем, что корнем n-ой степени некоторого числа z=left|zright|cdotleft(cosleft(фright)+isinleft(фright)right) является комплексное число, определяемое следующим равенством: sqrt[n]z=sqrt[n]cdot(cosleft(frac<ф+2nk>nright)+isinleft(frac<;ф+2nk>nright)). Воспользуемся этой формулой: Для k=0: w_1=sqrt[3]z=sqrt[3]>cdotleft(cosleft(fracpi<12>right)+icdotsinleft(fracpi<12>right)right). Для k=1 будет справедливо уравнение: w_2=sqrt[3]z=sqrt[3]>cdotleft(cosleft(frac3right)+icdotsinleft(frac3right)right)=sqrt[3]>cdotleft(cosleft(frac<3pi>4right)+icdotsinleft(frac<3pi>4right)right). Для k=2: w_3=sqrt[3]z=sqrt[3]>cdotleft(cosleft(frac3right)+icdotsinleft(frac3right)right)=sqrt[3]>cdotleft(cosleft(frac<17pi><12>right)+icdotsinleft(frac<17pi><12>right)right). Задача на квадратный корень Задача: Извлечь корень sqrt z для заданных комплексных чисел в показательной форме: z=3cdot e^. Решение: Определим значение модуля и аргумента в тригонометрической форме записи: z=left|zright|cdotleft(cosleft(фright)+isinleft(фright)right): r=3, ф=fracpi3. Подставляем ф в равенство: z=3cdotleft(cosleft(fracpi3right)+isinleft(fracpi3right)right). Воспользуемся формулой sqrt[n]z=sqrt[n]cdot(cosleft(frac<ф+2nk>nright)+isinleft(frac<;ф+2nk>nright)). Для k=0 справделиво уравнение: w_1=sqrt z=sqrt3cdotleft(cosleft(fracpi6right)+isinleft(fracpi6right)right); Для k=1: w_2=sqrt z=sqrt3cdotleft(cosleft(frac2right)+isinleft(frac2right)right)=sqrt3cdotleft(cosleft(frac<7pi>6right)+isinleft(frac<7pi>6right)right).

Уроки №85-86 от 10.04.17. Теорема о точке пересечения высот треугольника

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок геометрии в 8 классе с углубленным изучением математики Автор разработки: учитель математики МБОУ СШ № 10 г. Павлово Леонтьева Светлана Ивановна Чему бы ты ни учился, ты учишься для себя. (Петроний- сатирик Древней Греции) Урок вывешен на сайте: http://pavls1954.wixsite.com/1712

Приветствую вас на уроке геометрии в 8 классе Уроки №85-86 10.04.2017 г.

Успешного усвоения материала Интересные мысли и высказывания Геометрия приближает разум к истине Платон

Отчёт по выполнению ДР в группе

ДР №50 на 10.04.17 Теория: §1, п.п.70-72 Вопросы 1-19, стр.187 Выучить выводы последних уроков Практика: № 679(б),680(б), 681 Доп. задачу сдать индивидуально

Оцените выполнение ДР

КР Теорема о точке пересечения высот треугольника 10.04.2017г.

Цели урока: Рассмотреть теорему о точке пересечения высот треугольника, показать её применение при решении задач. Совершенствовать навыки решения задач. Формировать навыки парной и групповой работы на уроке в процессе решения задач.

Вывод 1. Центральный угол равен …, на которую он …. Вывод 2. Вписанный угол равен … …, на которую он опирается. Вывод 3. Вписанный угол равен … центрального угла, … на туже дугу.

Вывод 1. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Вывод 2. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Вывод 3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на туже дугу.

Вывод 4. Следствие 1. Вписанные углы, … на одну и туже дугу, … Вывод 5. Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на … — …

Вывод 4. Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу, равны Вывод 5. Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой

6. Если две … окружности …, то … отрезков одной хорды равно произведению … … хорды К

6. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды К

Читайте также  Куда поступить с плохим аттестатом

7. Угол между … и хордой, проведенной из точки касания, равен … дуги, заключенной между ними.

7. Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними.

8. Квадрат касательной равен произведению … секущей, проведенной из той же точки к окружности на её … часть

8. Квадрат касательной равен произведению всей секущей, проведенной из той же точки к окружности, на её внешнюю часть.

9. Если из точки к окружности проведены две секущие, то произведение равно произведению

9. Если из точки к окружности проведены две секущие, то произведение равно произведению

10. Угол, с вершиной вне окружности, образованный … …, равен … разности дуг, заключенных между этими секущими.

10. Угол, с вершиной вне окружности, образованный двумя секущими, равен половине разности дуг, заключенных между этими секущими.

11. Если угол образован … … хордами, то он равен половине суммы дуг, заключенных между этими хордами

11. Если угол образован двумя пересекающимися хордами, то он равен половине суммы дуг, заключенных между этими хордами

12. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла … от его сторон*

12. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон*

13. Каждая точка, … внутри угла и … от сторон угла, лежит на его …

13. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

14. Биссектрисы треугольника … в … точке

14. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке Какими являются отрезки OK,OL,OM?

14*. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке OK=OL=OM Точка пересечения биссектрис треугольника … от его …

14*. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке OK=OL=OM Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от его сторон

15. Каждая точка … перпендикуляра к отрезку … от концов этого отрезка.

15. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

16. Каждая точка, … от концов этого отрезка, лежит на … перпендикуляре к нему.

16. Каждая точка, равноудаленная от концов этого отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

17. Серединные перпендикуляры к … треугольника … в одной точке.

17. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Какими являются отрезки OА,OВ,OС?

17*. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. OА=OВ=OС Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника … от его …

17*. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. OА=OВ=OС Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от его вершин

Решение задач из РТ, №102 Решаем задачу по пунктам

Решение задач из РТ, №102

Решение задач из РТ, №102

Решение задач из РТ, №102

Решение задач из РТ, №102

Решение задачи №102

Решаем задачи вместе устно

Ответьте на вопросы: 1.Какие элементы треугольника пересекаются в одной точке? 2. В каком треугольнике совпадает точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот и точка пересечения серединных перпендикуляров?

Ответьте на вопросы: 3. Всегда ли пересекаются высоты треугольника? 4. Где располагаются точки пересечения высот треугольника или их продолжений для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников?

Постройте высоты треугольников на готовых чертежах а)

Постройте высоты треугольника

Постройте высоты треугольника

Постройте высоты треугольника

Высоты остроугольного треугольника

Постройте высоты треугольника б)

Постройте высоты треугольника

Высоты прямоугольного треугольника

Постройте высоты треугольника в)

Постройте высоты треугольника

Постройте высоты треугольника

Постройте высоты треугольника

Постройте высоты треугольника

Высоты тупоугольного треугольника Всегда ли пересекаются высоты треугольников? Где расположена точка пересечения высот или их продолжений?

Постройте точку пересечения продолжения высот тупоугольного треугольника

Постройте точку пересечения продолжения высот тупоугольного треугольника

Стр.179. Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке Докажите теорему, заполнив пропуски на карточке, используя чертеж:

Решите задачу из РТ, № 103 Решение

Решите задачу из РТ, № 103 Т

Назовите четыре замечательные точки треугольника

NL ML Точка пересечения биссектрис треугольника … от его …

NL ML Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от его сторон

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника … от его …

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от его вершин

Точка пересечении высот а) остроугольного треугольника располагается … треугольника; б) прямоугольного треугольника располагается в … … угла; в) тупоугольного треугольника располагается … треугольника

Разбираем задачи: №№ 685,683

Прочитайте задачу: № 685

Решение задачи №685 ┴

Разбираем задачу №683

Решение задачи №683

Решаем самостоятельно задачи: №№ 684,682,688 Проверка

№ 684 Выполните чертёж

№ 682 Выполните чертёж

№ 688 Как располагаются угол и отрезок по условию задачи? Выполним чертёж.

№ 688 Наметьте шаги решения Запишите решение

М … … … … Замечательные точки треугольника: Итоги урока:

NL ML Точка пересечения биссектрис треугольника … от его …

NL ML Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от его сторон

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника … от его …

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от его вершин

Заполните пропуски: Точка пересечении высот а) остроугольного треугольника располагается … треугольника; б) прямоугольного треугольника располагается в … … угла; в) тупоугольного треугольника располагается … треугольника

Критерии оценки за урок: 1. Комментировали ДЗ 2. Активно участвовали в решении устных задач. 3. Привели решение задач, решаемых письменно Поставьте себе оценку за урок

Назовите ученика, который по вашему мнению был сегодня на уроке лучшим

ДР №51 на 13.04.17 Теория: §1, п.п.70-73 Вопросы 1-20, стр.187 Выучить выводы последних уроков Домашняя проверочная работа выполнить на двойном листе Дополнительные задачи

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Онлайн-конференция для учителей, репетиторов и родителей

Формирование математических способностей у детей с разными образовательными потребностями с помощью ментальной арифметики и других современных методик

  • Все материалы
  • Статьи
  • Научные работы
  • Видеоуроки
  • Презентации
  • Конспекты
  • Тесты
  • Рабочие программы
  • Другие методич. материалы

  • Леонтьева Светлана ИвановнаНаписать 357 19.05.2020

Номер материала: ДБ-1167523

  • Геометрия
  • 8 класс
  • Презентации

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

    19.05.2020 0
    19.05.2020 0
    19.05.2020 0
    19.05.2020 0
    19.05.2020 0
    19.05.2020 0
    19.05.2020 0
    19.05.2020 0

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Рособрнадзор оставил за регионами решение о дополнительных школьных каникулах

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки запускает проект по наставничеству для девушек

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор проведет исследование качества образования в школах

Время чтения: 2 минуты

Решение по формату сдачи ЕГЭ в 2022 году будет принято в ближайшее время

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор соберет данные о частоте проведения контрольных работ в школах

Время чтения: 1 минута

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: