Как найти ребро четырехугольной пирамиды

Пирамида

Определение

Пирамида – это многогранник, составленный из многоугольника (A_1A_2. A_n) и (n) треугольников с общей вершиной (P) (не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника.
Обозначение: (PA_1A_2. A_n) .
Пример: пятиугольная пирамида (PA_1A_2A_3A_4A_5) .

Треугольники (PA_1A_2, PA_2A_3) и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки (PA_1, PA_2) и т.д. – боковыми ребрами, многоугольник (A_1A_2A_3A_4A_5) – основанием, точка (P) – вершиной.

Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:

((a)) боковые ребра пирамиды равны;

((b)) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;

((c)) боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

((d)) боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.

Теорема

Условия ((a), (b), (c), (d)) эквивалентны.

Доказательство

Проведем высоту пирамиды (PH) . Пусть (alpha) – плоскость основания пирамиды.

1) Докажем, что из ((a)) следует ((b)) . Пусть (PA_1=PA_2=PA_3=. =PA_n) .

Т.к. (PHperp alpha) , то (PH) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники (PA_1H, PA_2H, PA_3H. PA_nH) – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету (PH) и гипотенузам (PA_1=PA_2=PA_3=. =PA_n) . Значит, (A_1H=A_2H=. =A_nH) . Значит, точки (A_1, A_2, . A_n) находятся на одинаковом расстоянии от точки (H) , следовательно, лежат на одной окружности с радиусом (A_1H) . Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника (A_1A_2. A_n) .

2) Докажем, что из ((b)) следует ((c)) .

Аналогично первому пункту треугольники (PA_1H, PA_2H, PA_3H. PA_nH) прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, (angle PA_1H=angle PA_2H=. =angle PA_nH) .

3) Докажем, что из ((c)) следует ((a)) .

Аналогично первому пункту треугольники (PA_1H, PA_2H, PA_3H. PA_nH) прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть (PA_1=PA_2=PA_3=. =PA_n) .

4) Докажем, что из ((b)) следует ((d)) .

Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то (H) – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки (H) на стороны основания: (HK_1, HK_2) и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению). Тогда по ТТП ( (PH) – перпендикуляр на плоскость, (HK_1, HK_2) и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные (PK_1, PK_2) и т.д. перпендикулярны сторонам (A_1A_2, A_2A_3) и т.д. соответственно. Значит, по определению (angle PK_1H, angle PK_2H) равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники (PK_1H, PK_2H, . ) равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы (angle PK_1H, angle PK_2H, . ) равны.

5) Докажем, что из ((d)) следует ((b)) .

Аналогично четвертому пункту треугольники (PK_1H, PK_2H, . ) равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки (HK_1=HK_2=. =HK_n) . Значит, по определению, (H) – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то (H) – центр описанной окружности. Чтд.

Следствие

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Определение

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.

Важные замечания

1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).

3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).

4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.

Определение

Пирамида называется прямоугольной, если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Важные замечания

1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть (SR) – высота.

2. Т.к. (SR) перпендикулярно любой прямой из основания, то (triangle SRM, triangle SRP) – прямоугольные треугольники.

3. Треугольники (triangle SRN, triangle SRK) – тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.

Теорема

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: [V_>=dfrac13 S_>cdot h]

Следствия

Пусть (a) – сторона основания, (h) – высота пирамиды.

1. Объем правильной треугольной пирамиды равен (V_>=dfrac<12>a^2h) ,

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен (V_>=dfrac13a^2h) .

3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен (V_>=dfrac<2>a^2h) .

4. Объем правильного тетраэдра равен (V_>=dfrac<12>a^3) .

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.

Определение

Рассмотрим произвольную пирамиду (PA_1A_2A_3. A_n) . Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида ( (PB_1B_2. B_n) ), а другой называется усеченная пирамида ( (A_1A_2. A_nB_1B_2. B_n) ).

Усеченная пирамида имеет два основания – многоугольники (A_1A_2. A_n) и (B_1B_2. B_n) , которые подобны друг другу.

Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.

Важные замечания

1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.

Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Пирамиды. Теорема Эйлера для пирамид
Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды
Тетраэдры. Правильные тетраэдры
Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Пирамиды

Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник A1A2 . An , расположенный в этой плоскости, и точку S , не лежащую в плоскости α .

Определение 1. Пирамидой ( n — угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку S со всеми точками многоугольника A1A2 . An (рис. 1) .

Точку S называют вершиной пирамиды.

Точки A1 , A2 , . , An , S часто называют просто вершинами пирамиды.

Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды.

Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды.

Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности.

Теорема Эйлера. Для любой пирамиды справедливо равенство:

Доказательство. Заметим, что у n — угольной пирамиды (n + 1) вершина, n боковых граней, 1 основание, n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n — угольной пирамиды (n + 1) грань и 2n ребер.

то теорема Эйлера доказана.

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

Замечание 2. Если центр основания A1A2 . An правильной пирамиды SA1A2 . An обозначить буквой O , то длина отрезка SO будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной из вершины S .

Определение 4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины S , называют апофемой .

На рисунке 3 отрезок SB – апофема грани SAnAn-1 и отрезок SC – апофема грани SA2A1 .

Замечание 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести n апофем.

Свойства правильной пирамиды:

Все боковые ребра правильной пирамиды равны.

Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

У любой правильной пирамиды все апофемы равны.

Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы.

Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные двугранные углы.

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, например, AC и BS . Обозначим буквой D середину ребра AC . Поскольку отрезки BD и SD являются медианами в равнобедренных треугольниках ABC и ASC , то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).

Читайте также  Куда сохраняются письма

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS , что и требовалось доказать.

Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром a .

Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC . Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC – правильная пирамида, то точка O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Следовательно,

где буквой D обозначена середина ребра AC (рис. 6).

,

.

По теореме Пифагора из треугольника BSO находим

Ответ.

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды

Введем следующие обозначения

V объем пирамиды
Sбок площадь боковой поверхности пирамиды
Sполн площадь полной поверхности пирамиды
Sосн площадь основания пирамиды
Pосн периметр основания пирамиды

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды :

,

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

,

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Объем пирамиды (ЕГЭ 2022)

В этой статье вы поймете что такое пирамида и какими они бывают.

Вы научитесь вычислять объем пирамиды, высоту и другие ее параметры.

Вы научитесь решать задачу на доказательство (ЕГЭ №14) и записывать доказательства так, чтобы не сняли баллы на ЕГЭ.

Объем пирамиды — коротко о главном

Определение пирамиды:

Пирамида – это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (основание пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Треугольники, в которые «сливаются» эти отрезки, называются боковыми гранями, а отрезки, проведённые к вершинам основания — это боковые ребра.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильная пирамида — пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Свойства правильной пирамиды:

  • В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
  • Все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Объем пирамиды:

Что такое пирамида

Как она выглядит?

Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания.

Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида.

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

Высота пирамиды

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты.

Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды.

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

Правильная пирамида

Правильной называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Много сложный слов?

Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» — это понятно.

А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.

Шестиугольная правильная пирамида

В основании – правильный шестиугольник, вершина ( displaystyle S) проецируется в центр основания.

Четырехугольная правильная пирамида

В основании – квадрат, вершина ( displaystyle S) проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

Треугольная правильная пирамида

В основании – правильный треугольник, вершина ( displaystyle S) проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

Очень важные свойства правильной пирамиды

В правильной пирамиде:

  • Все боковые ребра равны
  • Все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды

Откуда взялась именно ( displaystyle frac<1><3>)?

Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть ( displaystyle frac<1><3>), а у цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle <_<осн>>) и ( displaystyle H).

( displaystyle <_<осн>>) – это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

Вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac<1><2>abcdot sin gamma )

У нас «( displaystyle a)» – это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» — это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60<>^circ =frac><2>)

Теперь найдем ( displaystyle H).

По теореме Пифагора для ( displaystyle Delta SOC)

Чему же равно ( displaystyle OC)?

Это радиус описанной окружности в ( displaystyle Delta ABC), потому что пирамида правильная и, значит, ( displaystyle O) — центр ( displaystyle Delta ABC)

Найдем ( displaystyle OC) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

( displaystyle OC=frac<2><3>CK), так как ( displaystyle O) — точка пересечения и медиан тоже.

( displaystyle C<^<2>>=A<^<2>>-A<^<2>>) (теорема Пифагора для ( displaystyle Delta ACK))

Подставим ( displaystyle OC) в формулу для ( displaystyle H).

И подставим все в формулу объема:

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. ( displaystyle b=a)), то формула получается такой:

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b).

Здесь ( displaystyle <_>) и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому ( displaystyle <_>=<^<2>>).

Найдем ( displaystyle H). По теореме Пифагора для ( displaystyle Delta SOD)

Известно ли нам ( displaystyle OD)? Ну, почти. Смотри:

Подставляем ( displaystyle OD) в формулу для ( displaystyle H):

А теперь и ( displaystyle H) и ( displaystyle <_>) подставляем в формулу объема.

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро ( displaystyle b).

Как найти ( displaystyle <_>)? Смотри, шестиугольник ( displaystyle ABCDEF) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Теперь найдем ( displaystyle H) (это ( displaystyle SO)).

По теореме Пифагора для ( displaystyle Delta SOE)

Но чему же равно ( displaystyle OE)? Это просто ( displaystyle a), потому что ( displaystyle Delta EOF) (и все остальные тоже) правильный.

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020

В этом видео мы разобрали следующие вопросы:

  • Как нарисовать шестиугольную пирамиду и как исправить рисунок, если грани пирамиды сливаются.
  • Как правильно подписать вершины пирамиды.
  • Как доказать пункты А и Б задания №14 из ЕГЭ и записать доказательство так, чтобы не сняли баллы на экзамене.
  • Как найти площадь основания пирамиды (чтобы найти объем) и правильно записать решение.
  • Как найти объем пирамиды.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете.

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись».
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.
Читайте также  Как установить операционную систему на флешку

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы:

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

А теперь попробуй ты!

Мы рассказали тебе все о пирамидах. Не о тех, что строили инопланетяне и рептилоиды, но все же… Сделали это не хуже всяких конспирологических каналов!

Теперь ты можешь быть уверен, что у тебя есть хорошая база для решения большинства задач стереометрии. И ты не зайдешь в тупик прямо со слов «В правильном тетрадэдре PABCD…»

А теперь слово тебе. Расскажи нам, понравилась ли тебе статья? Были ли трудности?

Напиши нам ниже в комментариях!

А еще можешь задавать любые вопросы. Мы читаем все и обязательно ответим.

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №18. Сечения многогранников

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Решение задач, сводящихся к доказательству, связанному с построением сечения многогранника

Построение сечения многогранников

Решение задач на нахождение площадей сечений многогранников

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб.для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб.для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

Определение: две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если через две прямые нельзя провести одну плоскость, то такие прямые скрещиваются.

Теорема о параллельности трех прямых: если a∥b, b∥c, то и a∥c. Определение: прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Признак параллельности прямой и плоскости: прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости, если она параллельна некоторой прямой из этой плоскости.

Определение: две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Если две плоскости пересекаются, то их линия пересечения — прямая.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то их линии пересечения параллельны (см. рис.)

Если плоскости α и β пересекаются по прямой a, а плоскости β и γ пересекаются по прямой b, причем a∥b, то плоскости α и γ пересекутся по прямой c∥a∥b.

Следом называется прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой из граней многогранника.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1 SABCD – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат ABCD, а две боковые грани SAB и SAD представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом ∠A. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если SA=AB=a.

сначала построим сечение по условию задачи.

1)Пусть AC∩BD=O. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Заметим, что т.к. ∠SAB=∠SAD=90∘⇒SA⊥(ABC). Проведем в плоскости SAC прямую OK∥SC. Т.к. O – середина AC, то по теореме Фалеса K – середина SA. Через точку K в плоскости SAB проведем KM∥SB (следовательно, M – середина AB). Таким образом, плоскость, проходящая через прямые OK и KM, и будет искомой плоскостью. Необходимо найти сечение пирамиды этой плоскостью. Соединив точки O и M, получим прямую MN. Т.к. α∥(SBC),то α пересечет плоскость SCD по прямой NP∥SC (если NP∩SC≠∅, то α∩(SBC)≠∅, что невозможно ввиду их параллельности). Таким образом, KMNP – искомое сечение, причем KP∥AD∥MN⇒ это трапеция.

2)Т.к. все точки K,M,N,P – середины отрезков SA,AB,CD,SD соответственно, то: а) MN=AD=a б) KP=1/2AD=a/2 в) KM=1/2SB=a 2/2 Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах SB⊥BC⇒KM⊥MN. Таким образом, KMNP – прямоугольная трапеция. SKMNP=(KP+MN)* KM/ 2 =3 a 2 /8

Ответ:3 a 2 /8

№2 Найди площадь сечения прямой призмы, проходящей через середины ребер, если =120°, АВ=5 см, ВС=3см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35см 2 .

боковая грань прямой призмы является прямоугольником.

Площадь каждой боковой грани равна произведению высоты призмы на сторону основания.

То есть большая боковая грань содержит большую сторону основания.

По условию =120°, – тупой, а поскольку напротив большей стороны лежит больший угол, то большей стороной основания будет сторона АС. Вычислим длину стороны АС по теореме косинусов.

Получим, что длина стороны АС=7см.

Зная большую сторону основания и площадь наибольшей боковой грани призмы, длину высоты призмы вычислить нетрудно.

Получим, что длина высоты призмы равна .

Найдем площадь основания, а оно равно площади сечения, по формуле .

Мы воспользуемся второй формулой. Получим, что площадь основания равна .

Ответ: 15 /4 см 2

№3 На ребре AB правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка Q, причём AQ_QB=1:2. Точка P — середина ребра AS.

Найдите площадь сечения DPQ, если площадь сечения DSB равна 6.

пусть сторона основания пирамиды равна 3а, а высота пирамиды равна h. Тогда площадь сечения DSB равна

S=BD*SO/2= 3 =6

Площадь сечения DPQ равна

Ответ:

Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Через середину ребра AC и точки пересечения медиан граней ASB и CSB проведена плоскость. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если AB=21,AS=12 .

пусть LK∩SO=H. Тогда по теореме о трех перпендикулярах HK⊥AC как наклонная (HO⊥(ABC),OK⊥AC как проекция). Следовательно, и LK⊥AC.

Тогда SALC=AC⋅LK/2 Рассмотрим △SKB: BK=AB⋅ /2=21 /2⇒cosB=7 /12 .

Тогда по теореме косинусов для △KLB: KL 2 =729/4⇒KL=27/2

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. На ребре AA1 отмечена точка K так, что AK : KA1 = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD1 в точке M, АВ=4, АА1=6. Найдите площадь сечения.

По теореме о трех перпендикулярах прямые BM и AC перпендикулярны, а значит, прямые BM и KL перпендикулярны. Площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей. Найдем их: KL=AC=4 как диагональ квадрата, лежащего в основании призмы, тогда

по теореме Пифагора.

Ответ: 8

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см а сторона основания 12 см найдите боковое ребро пирамиды?

Математика | 10 — 11 классы

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см а сторона основания 12 см найдите боковое ребро пирамиды.

1) В правильной 4 — ух угольной пирамиде основанием является квадрат.

Половина стороны основания OE = ВЕ = 12 / 2 = 6

2) Высота SE треугольника BCS по теореме Пифагора = стороне треугольника SOE : SE ^ = SO ^ 2 + OE ^ 2 = 64 + 36.

3) Сторона SB (длина бокового ребра пирамиды) по теореме Пифагора SB ^ 2 = SE ^ 2 + BE ^ 2 = 100 + 36 = 136.

Ответ : корень из 136 = 2 корня из 34

4) Площадь одной боковой стороны пирамиды = площади равнобедренного треугольника с высотой SE = 10 и основанием BC = 12.

Площадь равна : SE * BC / 2 = 10 * 12 / 2 = 60

5) Площадь всей боковой поверхности пирамиды : 60 * 4 = 24.

В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 1, а сторона основания равна 8?

В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 1, а сторона основания равна 8.

Найдите высоту пирамиды.

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна корню из 6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов а) найдите боковое ребро пирамиды б) найдите площадь боковой повер?

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна корню из 6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов а) найдите боковое ребро пирамиды б) найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Читайте также  Почему у кошек светятся глаза

В правильной трехугольной пирамиде боковое ребро равно 14, а сторона основания равна9?

В правильной трехугольной пирамиде боковое ребро равно 14, а сторона основания равна9.

Найдите высоту пирамиды.

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 5 см, а высота 3 см?

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 5 см, а высота 3 см.

Найдите полную поверхность пирамиды.

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды 18 см сторона основания 16 см найти высоту пирамиды?

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды 18 см сторона основания 16 см найти высоту пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н?

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н.

Найдите : двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания 8 корень из 2, а высота пирамиды равна 15 см?

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания 8 корень из 2, а высота пирамиды равна 15 см.

Найдите боковое ребро пирамиды.

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 7, а сторона основания равна 8?

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 7, а сторона основания равна 8.

Найдите боковое ребро и боковую поверхность пирамиды.

В правильной , четырёхугольной пирамиде боковое ребро 7 см и апофема 4 см ?

В правильной , четырёхугольной пирамиде боковое ребро 7 см и апофема 4 см .

Найдите ребро основания пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания корень из 39?

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания корень из 39.

Найдите высоту пирамиды.

Вопрос Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см а сторона основания 12 см найдите боковое ребро пирамиды?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Математика и соответствует программе для 10 — 11 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

1) — 1 / 6а = — 2 / 3 а = ( — 2 / 3) : ( — 1 / 6) а = 2 / 3 * 6 а = 4 2) — в : 0, 4 = — 2, 5 — в = — 2, 5 * 0, 4 — в = — 1 в = 1.

Пирамида и ее боковые ребра. Формулы. Боковое ребро пирамиды Хеопса

Одной из геометрических фигур, свойства которых изучают в школах в курсе стереометрии, является пирамида. Рассмотрим, что собой представляет эта фигура, а также подробно охарактеризуем важный линейный параметр — боковое ребро пирамиды.

Пирамида как фигура геометрии

Прежде чем рассматривать понятие о боковом ребре пирамиды, следует дать определение этой пространственной фигуры. Если говорить коротко, то пирамида представляет собой поверхность, ограниченную одним n-угольником и n треугольниками. Рисунок ниже показывает один из возможных вариантов этой фигуры.

Вам будет интересно: Небесный меридиан: определение, структура и интересные факты

С геометрической точки зрения получить пирамиду можно таким способом: взять n-угольник и соединить все его углы с некоторой точкой в пространстве, которая не должна лежать в плоскости n-угольника.

Заметим, что, независимо от количества сторон n в исходном многоугольнике, всегда при соединении его углов с единственной точкой получаются треугольники. Их совокупность образует боковую поверхность пирамиды, а исходный многоугольник является ее основанием. Точка, в которой соединяются все треугольники, получила название вершины пирамиды.

Элементы пирамиды

Каждая пирамида образована тремя главными элементами:

  • гранями;
  • ребрами;
  • вершинами.

Граней или сторон у фигуры всегда n + 1. Это легко видеть на приведенном в предыдущем пункте рисунке. Шестиугольное основание является одной гранью. Оставшиеся 6 сторон представляют собой треугольники, опирающиеся на стороны основания и пересекающиеся в вершине пирамиды.

Ребра представляют собой совокупность точек пересечения соседних граней. Фигура имеет два типа этих элементов:

  • ребра основания;
  • боковые ребра пирамиды.

Их количества, независимо от числа сторон n основания, всегда равны друг другу, то есть фигура имеет 2 × n ребер. Если с ребрами основания все понятно (они являются сторонами n-угольника), то для боковых ребер следует уточнить, что они представляют собой отрезки, соединяющие углы основания с высотой рассматриваемой фигуры.

Наконец, третьим типом элементов пирамиды будут вершины. У фигуры имеется n + 1 вершина. Однако n из них образованы основанием и двумя боковыми гранями. Лишь одна единственная вершина не связана с основанием. Она играет важную роль при изучении количественных характеристик пирамиды, например, ее высоты или апофемы.

Правильные пирамиды

Пирамиды могут быть наклонными и прямыми, правильными и неправильными, выпуклыми и вогнутыми. Все названные типы фигур отличаются друг от друга многоугольным основанием и особенностями поведения высоты.

Предположим, что имеется пирамида, у которой высота (опущенный из вершины к основанию перпендикуляр) падает на многоугольник точно в его геометрическом центре. В этом случая фигура называется прямой. Если же многоугольник является равносторонним, то помимо прямой, пирамида также будет правильной. Напомним, что центр геометрический плоской фигуры аналогичен центру масс в физике. Для квадрата он совпадает с точкой пересечения диагоналей, а для треугольника — с точкой, где медианы пересекаются.

Пирамиды правильные удобно изучать ввиду их симметрии. Так, боковые ребра правильной пирамиды и ее боковые грани равны друг другу. Частным случаем является ситуация, когда боковые грани будут образованы равносторонними треугольниками.

Далее рассмотрим, какими формулами следует пользоваться, чтобы определить размеры боковых ребер пирамид — правильной четырехугольной и треугольной.

Треугольная пирамида

Существуют четыре линейных параметра, которые описывают размеры правильной пирамиды. К ним относятся сторона основания a, боковое ребро b, высота h и апофема hb. Ниже приведем формулы, которые позволяют рассчитать длину бокового ребра для треугольной пирамиды правильной. Основание этой фигуры представляет треугольник с равными сторонами, что позволяет записать следующие равенства:

Обе формулы являются следствием теоремы Пифагора для треугольников, в которых боковое ребро b является гипотенузой.

Четырехугольная пирамида

Эта фигура, пожалуй, является самой известной среди остальных пирамид благодаря величественным древним египетским сооружениям. Боковое ребро пирамиды четырехугольной правильной можно определить по таким формулам:

Как и в предыдущем случае, эти выражения являются следствием свойства катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника.

Отметим, что формула расчета бокового ребра правильной пирамиды четырехугольной через ее апофему и сторону основания аналогична таковой для треугольной фигуры. Это совпадение не является случайным, поскольку боковые грани обеих пирамид — это равнобедренные треугольники.

Задача на определение бокового ребра пирамиды Хеопса

Каждый человек знает, что первое чудо света — пирамида Хеопса, обладает головокружительными размерами. Она является самой большой из всех пирамид, находящихся в египетской Гизе. Стороны ее основания образуют квадрат с точностью до нескольких десятков сантиметров. Средняя длина стороны пирамиды оценивается в 230,363 метра. Высота пирамиды в настоящее время составляет около 137 метров, однако исходная высота каменного гиганта была 146,50 метров.

Воспользуемся приведенными выше цифрами, чтобы определить, чему равно боковое ребро правильной пирамиды четырехугольной, посвященной фараону Хеопсу.

Поскольку нам известна высота h и длина стороны a монумента, то следует применить такую формулу для b:

Подставляя в нее известные данные, получаем, что боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 273 метра, что немногим меньше периметра футбольного поля (300 метров).

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: