Как найти производную от дроби

Как найти производную. Таблица производных

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

  • Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам получаем другую функцию:

    В этом равенстве — функция, от которой мы берем производную,

    — функция, которая получается в результате этой операции.

    Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение производной, существует таблица производных элементарных функций :

    1 . Производная константы равна нулю:

    2 . Производная степенной функции:

    Заметим, что может принимать любые действительные значения.

    1.

    2.

    3.

    3 . Производная показательной функции:

    Частный случай этой формулы:

    4 . Производная логарифма:

    Частный случай этой формулы:

    5 . Производные тригонометрических функций:

    6 . Производные обратных тригонометрических функций:

    Правила дифференцирования:

    1. Производная суммы двух функций:

    2. Производная произведения двух функций:

    3. Производная дроби:

    4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число «выносится» за знак производной):

    Чтобы правильно найти производную функции , полезно придерживаться такого алгоритма :

    1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

    2. Отделите в явном виде коэффициенты.

    3. Если возможно, упростите выражение , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции

    4. Вспомните, чему равны производные этих функций или посмотрите в таблице производных.

    5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

    Пример 1. Найти производную функции:

    0″ title=»f(x)=log_<2>,

    x>0″/>

    Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

    Так как по условию 0″ title=»x>0″/>, следовательно,

    Пример 2. Найти производную функции:

    1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

    Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

    Пример 3. Найти производную функции

    Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

    Теперь легко найти производную:

    Пример 4. Найти производную функции:

    Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

    Найдем производную функции по формуле производной дроби:

    КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

    Видеоурок «Производная сложной функции» смотрите здесь.

    Правила вычисления производных. Таблица производных часто встречающихся функций. Таблица производных сложных функций

    Правила вычисления производных
    Таблица производных часто встречающихся функций
    Таблица производных сложных функций

    Правила вычисления производных

    Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

    Правило 1 (производная от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

    где c – любое число.

    Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

    Правило 2 (производная суммы функций) . Производная суммы функций вычисляется по формуле

    то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

    Правило 3 (производная разности функций) . Производная разности функций вычисляется по формуле

    то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

    Правило 4 (производная произведения двух функций) . Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

    Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

    Правило 5 (производная частного двух функций) . Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

    Определение . Рассмотрим функции f (x) и g (x) . Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

    При этом функцию f (x) называют внешней функцией, а функцию g (x) – внутренней функцией.

    Правило 6 (производная сложной функции) . Производная сложной функции вычисляется по формуле

    Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции f (g (x)) в точке x нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке g (x) , на производную внутренней функции, вычисленную в точке x .

    Таблица производных часто встречающихся функций

    В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

    где c – любое число

    где c – любое число

    где a – любое положительное число, не равное 1

    где a – любое положительное число, не равное 1

    y = arcsin x ,

    y = arccos x ,

    где c – любое число

    Формула для производной:

    где c – любое число

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    где a – любое положительное число, не равное 1

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    где a – любое положительное число, не равное 1

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    ,

    Формула для производной:

    y = arcsin x ,

    Формула для производной:

    y = arccos x ,

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    Формула для производной:

    Таблица производных сложных функций

    В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид f (x) = kx + b , где k и b – любые числа, .

    где c – любое число.

    где c – любое число.

    где a – любое положительное число, не равное 1

    где a – любое положительное число, не равное 1

    где a – любое положительное число, не равное 1

    где a – любое положительное число, не равное 1

    где

    где

    где

    где

    Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

    Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

    Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

    Геометрический и физический смысл производной

    Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

    Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

    Иначе это можно записать так:

    Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

    Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

    Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

    Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

    Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

    Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

    Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

    Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

    Правила нахождения производных

    Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

    Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

    Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

    Правило первое: выносим константу

    Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

    Пример. Вычислим производную:

    Правило второе: производная суммы функций

    Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

    Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

    Найти производную функции:

    Правило третье: производная произведения функций

    Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

    Пример: найти производную функции:

    Решение:

    Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

    В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

    В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

    Читайте также  Какие темы в интернете самые популярные

    Правило четвертое: производная частного двух функций

    Формула для определения производной от частного двух функций:

    Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

    С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

    • Контрольная работа от 1 дня / от 120 р. Узнать стоимость
    • Дипломная работа от 7 дней / от 9540 р. Узнать стоимость
    • Курсовая работа 5 дней / от 2160 р. Узнать стоимость
    • Реферат от 1 дня / от 840 р. Узнать стоимость

    Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

    Решение задач по математике онлайн

    Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.

    Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

    Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

    Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.

    Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.

    Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
    Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>
    С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите выражение функции Найти производную функции f(x)

    Немного теории.

    Определение производной

    Определение. Пусть функция ( y = f(x) ) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку ( x_0 ). Дадим аргументу приращение ( Delta x ) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции ( Delta y ) (при переходе от точки ( x_0 ) к точке ( x_0 + Delta x ) ) и составим отношение ( frac ). Если существует предел этого отношения при ( Delta x rightarrow 0 ), то указанный предел называют производной функции ( y=f(x) ) в точке ( x_0 ) и обозначают ( f'(x_0) ).

    Для обозначения производной часто используют символ ( y’ ). Отметим, что ( y’ = f(x) ) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией ( y = f(x) ), определенная во всех точках (x), в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции ( y = f(x) ).

    Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции ( y = f(x) ) в точке с абсциссой ( x=a ) можно провести касательную, непараллельную оси (y), то ( f(a) ) выражает угловой коэффициент касательной:
    ( k = f'(a) )

    Поскольку ( k = tg(a) ), то верно равенство ( f'(a) = tg(a) ) .

    А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция ( y = f(x) ) имеет производную в конкретной точке ( x ):
    $$ lim_ frac = f'(x) $$
    Это означает, что около точки (x) выполняется приближенное равенство ( frac approx f'(x) ), т.е. ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ).
    Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке (x).
    Например, для функции ( y = x^2 ) справедливо приближенное равенство ( Delta y approx 2x cdot Delta x ). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

    Как найти производную функции у = f(x) ?

    1. Зафиксировать значение ( x ), найти ( f(x) )
    2. Дать аргументу ( x ) приращение ( Delta x ), перейти в новую точку ( x+ Delta x ), найти ( f(x+ Delta x) )
    3. Найти приращение функции: ( Delta y = f(x + Delta x) — f(x) )
    4. Составить отношение ( frac )
    5. Вычислить $$ lim_ frac $$
    Этот предел и есть производная функции в точке (x).

    Если функция (y=f(x)) имеет производную в точке (x), то ее называют дифференцируемой в точке (x). Процедуру нахождения производной функции (y=f(x)) называют дифференцированием функции (y=f(x)).

    Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

    Пусть функция (y=f(x)) дифференцируема в точке (x). Тогда к графику функции в точке ( M(x; ; f(x)) ) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен ( f'(x) ). Такой график не может «разрываться» в точке (M), т. е. функция обязана быть непрерывной в точке (x).

    Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция (y=f(x)) дифференцируема в точке (x), то выполняется приближенное равенство ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ). Если в этом равенстве ( Delta x ) устремить к нулю, то и ( Delta y ) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

    Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

    Обратное утверждение неверно. Например: функция ( y=|x|) непрерывна везде, в частности в точке (x=0), но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

    Еще один пример. Функция ( y=sqrt[3] ) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке (x=0). И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке (x=0). Но в этой точке касательная совпадает с осью (y), т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид (x=0). Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и ( f'(0) )

    Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

    Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

    Правила дифференцирования

    Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
    Если (C) — постоянное число и ( f=f(x), ; g=g(x) ) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

    Как считать производную степенной функции

    Этим видео я начинаю длинную серию уроков, посвященную производным. Этот урок состоит из нескольких частей.

    В первую очередь, я расскажу вам, что вообще такое производные и как их считать, но не мудреным академическим языком, а так, как я сам это понимаю и как объясняю своим ученикам. Во-вторых, мы рассмотрим простейшее правило для решения задач, в которых будем искать производные суммы, производные разности и производные степенной функции.

    Мы рассмотрим более сложные комбинированные примеры, из которых вы, в частности, узнаете, что подобные задачи, содержащие корни и даже дроби, могут быть решены при использовании формулы производной степенной функции. Кроме того, конечно, будет множество задач и примеров решений самого разного уровня сложности.

    Вообще, изначально я собирался записать коротенький 5-минутный ролик, но сами видите, что из этого получилось. Поэтому хватит лирики — приступаем к делу.

    Что такое производная?

    Итак, начнем издалека. Много лет назад, когда деревья были зеленее, а жизнь была веселее, математики задумались вот над чем: рассмотрим простую функцию, заданную своим графиком, назовем ее $y=fleft( x right)$. Разумеется, график существует не сам по себе, поэтому нужно провести оси $x$, а также ось $y$. А теперь давайте выберем любую точку на этом графике, абсолютно любую. Абсциссу назовем $<_<1>>$, ордината, как не трудно догадаться, будет $fleft( <_<1>> right)$.

    Рассмотрим на том же графике еще одну точку. Не важно, какую, главное, чтобы она отличалась от первоначальной. У нее, опять же, есть абсцисса, назовем ее $<_<2>>$, а также ордината — $fleft( <_<2>> right)$.

    Итак, мы получили две точки: у них разные абсциссы и, следовательно, разные значения функции, хотя последнее — необязательно. А вот что действительно важно, так это что, что из курса планиметрии нам известно: через две точки можно провести прямую и, причем, только одну. Вот давайте ее и проведем.

    Читайте также  Как надевать противогаз

    А теперь проведем через самую первую из них прямую, параллельную оси абсцисс. Получим прямоугольный треугольник. Давайте его обозначим $ABC$, прямой угол $C$. У этого треугольника возникает одно очень интересное свойство: дело в том, что угол$alpha $, на самом деле, равен углу, под которым пересекается прямая $AB$ с продолжением оси абсцисс. Судите сами:

    1. прямая $AC$параллельна оси $Ox$ по построению,
    2. прямая $AB$ пересекает $AC$ под $alpha $,
    3. следовательно, $AB$ пересекает $Ox$под тем же самым $alpha $.

    Что мы можем сказать об $text< >!!alpha!!text< >$? Ничего конкретного, разве что в треугольнике $ABC$отношение катета $BC$ к катету $AC$ равно тангенсу этого самого угла. Так и запишем:

    Разумеется, $AC$ в данном случае легко считается:

    Точно также и $BC$:

    Другими словами, мы можем записать следующее:

    Теперь, когда мы все это выяснили, давайте вернемся к нашему графику и рассмотрим новую точку $B$. Сотрем старые значения и возьмем и возьмем $B$ где-нибудь поближе к $<_<1>>$. Вновь обозначим ее абсциссу за $<_<2>>$, а ординату — $fleft( <_<2>> right)$.

    Вновь рассмотрим наш маленький треугольник $ABC$и $text< >!!alpha!!text< >$ внутри него. Совершенно очевидно, что это будет уже совсем другой угол, тангенс будет также другим потому, что длины отрезков $AC$ и $BC$ существенно изменились, а формула для тангенса угла нисколько не поменялась — это по-прежнему соотношение между изменением функции и изменением аргумента.

    Наконец, продолжаем двигать $B$ все ближе к изначальной точке $A$, в результате треугольник еще уменьшится, а прямая, содержащая отрезок $AB$, все больше будет походить на касательную к графику функции.

    В итоге, если продолжать сближение точек, т. е., уменьшать расстояние до нуля, то прямая $AB$, действительно, превратится в касательную к графику в данной точке, а $text< >!!alpha!!text< >$превратится из обычного элемента треугольника в угол между касательной к графику и положительным направлением оси $Ox$.

    И вот тут мы плавно переходим к определению$f$, а именно, производной функции в точке $<_<1>>$ называется тангенс угла $alpha $ между касательной к графику в точке $<_<1>>$ и положительным направлением оси $Ox$:

    Возвращаясь к нашему графику, следует отметить, что в качестве $<_<1>>$ можно выбрать любую точку на графике. Например, с тем же успехом мы могли снять штрих в точке, показанной на рисунке.

    Угол между касательной и положительным направлением оси назовем $beta $. Соответственно, $f$ в $<_<2>>$ будет равна тангенсу этого угла $beta $.

    В каждой точке графика будет своя касательная, а, следовательно, свое значение функции. В каждом из этих случаев помимо точки, в которой мы ищем производную разности или суммы, или производную степенной функции, необходимо взять другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от нее, а затем устремить эту точку к исходной и, разумеется, выяснить, как в процессе такого движения будет меняться тангенс угла наклона.

    Производная степенной функции

    К сожалению, подобное определение нас совершено не устраивает. Все эти формулы, картинки, углы не дают нам ни малейшего представления о том, как считать реальную производную в реальных задачах. Поэтому давайте немного отвлечемся от формального определения и рассмотрим более действенные формулы и приемы, с помощью которых уже можно решать настоящие задачи.

    Начнем с самых простых конструкций, а именно, функций вида $y=<^>$, т.е. степенных функций. В этом случае мы можем записать следующее: $‘=ncdot <^>$. Другими словами, степень, которая стояла в показателе, показывается в множителе спереди, а сам показатель уменьшается на единицу. Например:

    А вот другой вариант:

    Пользуясь этими простыми правилами, давайте попробуем снять штрих следующих примеров:

    Итак, мы получаем:

    Теперь решим второе выражение:

    Разумеется, это были очень простые задачи. Однако реальные задачи более сложные и они не ограничиваются одними лишь степенями функции.

    Итак, правило № 1 – если функция представлена в виде других двух, то производная этой суммы равна сумме производных:

    Аналогично, производная разности двух функций равна разности производных:

    Кроме того, есть еще одно важное правило: если перед некоторой $f$ стоит константа $c$, на которую эта функция умножается, то $f$ всей этой конструкции считается так:

    Наконец, еще одно очень важное правило: в задачах часто встречается отдельное слагаемое, которое вообще не содержит $x$. Например, мы можем наблюдать это в наших сегодняшних выражениях. Производная константы, т. е., числа, никак не зависящего от $x$, всегда равна нулю, причем совершенно неважно, чему равна константа $c$:

    Еще раз ключевые моменты:

    1. Производная суммы двух функций всегда равна сумме производных: $<^>=‘+‘$;
    2. По аналогичным причинам производная разности двух функций равна разности двух производных: $<^>=‘-‘$;
    3. Если у функции присутствует множитель константа, то эту константу можно выносить за знак производной: $<^>=ccdot ‘$;
    4. Если вся функция представляет собой константу, то ее производная всегда ноль: $<^>=0$.

    Давайте посмотрим, как все это работает на реальных примерах. Итак:

    В этом примере мы видим и производную суммы, и производную разности. Итого, производная равна $5<^<4>>-6x$.

    Переходим ко второй функции:

    Вот мы и нашли ответ.

    Переходим к третьей функции — она уже посерьезней:

    Переходим к последнему выражению — самому сложному и самому длинному:

    Но на этом решение не заканчивается, потому что нас просят не просто снять штрих, а посчитать ее значение в конкретной точке, поэтому подставляем в выражение −1 вместо $x$:

    [‘left( -1 right)=42cdot 1-42cdot 1+4=4]

    Идем далее и переходим к еще более сложным и интересным примерам. Дело в том, что формула решения степенной производной $<^> right)>^>=ncdot <^>$ имеет еще более широкую область применения, чем обычно принято считать. С ее помощью можно решать примеры с дробями, корнями и т. д. Именно этим мы сейчас и займемся.

    Для начала еще раз запишем формулу, которая поможет нам найти производную степенной функции:

    А теперь внимание: до сих пор мы рассматривали в качестве $n$ лишь натуральные числа, однако ничего не мешаем рассмотреть дроби и даже отрицательные числа. Например, мы можем записать следующее:

    Ничего сложного, поэтому посмотрим, как эта формула поможет нам при решении более сложных задач. Итак, пример:

    Возвращаемся к нашему примеру и записываем:

    Вот такое сложное решение.

    Переходим ко второму примеру — здесь всего два слагаемых, но каждое из них содержит как классическую степень, так и корни.

    Сейчас мы узнаем, как найти производную степенной функции, которая, кроме того, содержит и корень:

    Оба слагаемых посчитаны, осталось записать окончательный ответ:

    Производная дроби через степенную функцию

    Но и на этом возможности формулы для решения производной степенной функции не заканчиваются. Дело в том, что с ее помощью можно считать не только примеры с корнями, но также и с дробями. Это как раз та редкая возможность, которая значительно упрощает решение таких примеров, но при этом зачастую игнорируется не только учениками, но и учителями.

    Итак, сейчас мы попытаемся совместить сразу две формулы. С одной стороны, классическая производная степенной функции

    С другой стороны мы знаем, что выражение вида $frac<1><<^>>$ представимо в виде $<^<-n>>$. Следовательно,

    Таким образом, производные простых дробей, где в числителе стоит константа, а в знаменателе — степень, также считаются с помощью классической формулы. Посмотрим, как это работает на практике.

    Итак, первая функция:

    Первый пример решен, переходим ко второму:

    Теперь собираем все эти слагаемые в единую формулу:

    Мы получили ответ.

    Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $fleft( x right)=. $, во втором: $y=. $ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $fleft( x right)$ и $y$? На самом деле, ничем. Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $fleft( x right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.

    Сложные задачи с производными

    В заключение хотелось бы рассмотреть пару сложных комбинированных задач, в которых используется сразу все то, что мы сегодня рассмотрели. В них нас ждут и корни, и дроби, и суммы. Однако сложными эти примеры будут лишь в рамках сегодняшнего видеоурока, потому что по-настоящему сложные функции производных будут ждать вас впереди.

    Итак, заключительная часть сегодняшнего видеоурока, состоящая из двух комбинированных задач. Начнем с первой из них:

    Производная функции равна:

    Первый пример решен. Рассмотрим вторую задачу:

    Во втором примере действуем аналогично:

    Посчитаем каждое слагаемое отдельно:

    Все слагаемые посчитаны. Теперь возвращаемся к исходной формуле и складываем вместе все три слагаемых. Получаем, что окончательный ответ будет таким:

    И на этом все. Это был первый наш урок. В следующих уроках мы рассмотрим более сложные конструкции, а также выясним, зачем вообще нужны производные.

    Типичные ошибки при вычислении производной.

    В эпиграфе описана реальная ситуация из моей практики. Вопрос возник, когда ученик запутался в правилах дифференцирования функций, в частности, не смог определить производную произведения двух функций. Во избежание подобной трактовки этой статьи напомню, что мы занимаемся именно математикой, и здесь термин «произведение» обозначает результат операции умножения, а «производная» это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

    Производные элементарных функций по определению, т.е. через предел, вычисляют только однажды на лекции (на уроке), чтобы закрепить связь производной и предела. В дальнейшем нас интересует только практическое применение этого понятия, поэтому для вычисления производной пользуются готовыми Формулами и Правилами дифференцирования функций.

    Здесь мы посмотрим как надо и как не надо вычислять производные, но, к сожалению, многие школьники и даже студенты это делают.

    Как надо вычислять производные

    Как НЕ надо вычислять производные

    1. Прежде всего, не надо усложнять простое.
    2. Не надо путать слагаемые и сомножители (сумму и произведение).
    3. Не надо путать степенную xа и показательную ax функции.
    4. Не надо забывать о том, что производная сложной функции вычисляется «с продолжением» до получения табличной формулы.
    5. Не надо стесняться ставить скобки.

    В большинстве последующих примеров представлены варианты вычислений производных, в которых

    1. вычисления выполнены совсем плохо , с явными ошибками;
    2. правильно, но неоптимально , т.е. долго и с вероятными ошибками на невнимательность;
    3. совсем хорошо .

    Не надо усложнять простое.

    Обратите внимание, на правило, которое я поставила под номером один.

    Если в произведении один из сомножителей является постоянной величиной, то совершенно не обязательно пользоваться правилом производной произведения. Более того, не нужно этого делать, так как часто такая операция сопровождается ошибками. Постоянный множитель можно выносить за знак производной!

    Пример 1.

    Если в дроби числитель или знаменатель является постоянной величиной, то совершенно необязательно пользоваться правилом для производной дроби. Это действие у школьников и студентов ещё чаще сопровождается ошибками. Постоянный множитель можно выносить за знак производной!

    Пример 2.

    Пример 3.

    Самая частая ошибка в подобных примерах — забыть поставить штрих (обозначение производной) над числом или поставить его и «не увидеть» при следующем действии, т.е. не учесть, что производная константы (числа) равна нулю.

    Здесь для первого и третьего примеров простота и качество подхода c вынесением числового множителя за скобки очевидна. Но не всё так однозначно для второго примера, где в знаменателе находится тригонометрическая функция. Более того, соглашусь, что для тех учеников, которые плохо владеют производной сложной функции (правилом 5), более предпочтительным в этом примере может оказаться правило дифференцирования дроби.

    Однако, для ряда других функций, особенно для степенных, просто необходимо знаменатель «превращать» в числитель, а корни — в степени, потому что в этом случае мы сможем воспользоваться самой простой и самой запоминающейся табличной формулой (x α ) = αx α − 1 .

    Пример 4.

    Пример 5.

    В этих двух примерах, представлены обычные ошибки при дифференцировании дроби с константой, а в следующем примере переход от корня к дробной степени нужен потому, что иначе часто забывают, что подобная функция не является табличной и должна дифференцироваться по правилу для сложной функции.

    Пример 6.

    Не надо путать слагаемые и сомножители (сумму и произведение).

    Константа-слагаемое при дифференцировании обнуляется, константа-сомножитель при дифференцировании сохраняется.

    Кроме того, почему-то для многих учеников производную функции y = x 2 + 0,1 вычислить легче, чем такую же производную вида (0,1 + х 2 ) . И для производной функции y = 0,1х 2 часто догадываются о существовании первого правила, а для (х 2 ·0,1) нет.
    Если Вы допускаете ошибки такого рода, то вспомните, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется, и от перестановки сомножителей произведение не изменяется. Переставьте их так, как вам удобнее, и аккуратно примените первое или второе правила дифференцирования.

    Пример 7.



    Не надо путать степенную xа и показательную ax функции.

    В первом случае переменная находится в основании степени, читаем: «икс в степени а». Во втором — переменная в показателе степени, читаем «а в степени икс». Функции разные, формулы для вычисления производных разные. См. таблицу.

    Пример 8.

    Пример 9.

    Это пример для продвинутых. Задумайтесь о том, как бы Вы вычислили производную функции y = x x , в которой переменную поместили и в основание, и в показатель степени.
    Хорошо подумав, но не раньше, кликните по , чтобы раскрыть мой ответ.

    Это сложная функция, которая не относится напрямую ни к классу степенных, ни к классу показательных. Для вычисления производной в таких случаях часто требуется произвести предварительные преобразования. Например, здесь сначала выражение прологарифмировали, затем нашли производные обеих частей равенства по своим переменным и, наконец, составили уравнение для нахождения нужной производной по переменной х.

    Сложная функция, это функция зависящая не напрямую от заданной переменной, а от другой функции. Иными словами, её значение нельзя вычислить в одно действие. Например, функции y = sinx 2 и y = sin 2 x являются сложными. Посмотрим, как вычисляются их значения, например при х = 2.

    Для функции y = sinx 2 нужно сначала возвести x в квадрат: 2 2 = 4, а затем вычислить значение синуса 4-ёх. Сделаем это с помощью калькулятора: sin4 = −0,75680249530792825. ≈ −0,76 (не забудьте, что аргументы тригонометрических функций считаются заданными в радианах).

    Для функции y = sin 2 x сначала определяем значение синуса 2-ух с помощью калькулятора: sin2 = 0,9092974268256816. а затем возводим это значение в квадрат sin 2 2 = (0,9092974268256816. ) 2 = 0,82682181043180595. ≈ 0,83.

    Таким образом, мы сначала вычисляем значение внутренней функции, а затем используем его как аргумент для внешней.
    Согласно пятому правилу дифференцирования, при определении производной нужно поступать наоборот — сначала вычислять производную внешней функции по её аргументу, а затем умножать её на производную внутренней.

    Как я уже упоминала, в этой операции ошибаются чаще всего. Ошибки могут быть самые разные, распространены следующие три.

    1-я ошибка) Можно просто не применить нужное правило, «не заметив», что функция сложная.
    В следующем примере формулы дифференцирования степенной и тригонометрической функций использованы не последовательно, а одновременно, производная неверно вычислена в одно действие.

    Пример 10.

    2-я ошибка) Можно не разобраться, где внутренняя, а где внешняя функции.
    В следующем примере показатель степени стоит над x, т.е. над аргументом, поэтому степенная функция внутренняя, а синус внешняя. Ученик воспринял это иначе, решил, что синус в квадрате и допустил ошибку.

    Пример 11.

    Чтобы избавиться от ошибок такого рода, научиться анализировать сложную функцию, отделять внутреннюю от внешней, нужно просто смотреть в каком порядке Вы бы проводили вычисления, и дифференцирование проводить в обратном порядке. При этом можно расставлять отсутствующие скобки, а если всё равно испытываете трудности, то вводить дополнительные обозначения. Что касается степеней, то можно запомнить следующее — над каким обозначением стоит показатель степени, то и является её основанием (возводится в степень).

    Пример 12.

    Здесь в конце использована тригонометрическая формула синуса двойного угла для того, чтобы записать ответ в наиболее компактной форме.

    Пример 13.

    Здесь в конце переставлены сомножители также для того, чтобы записать ответ в более компактной и удобочитаемой форме.

    3-я ошибка) Правило используется не до конца
    Один раз учли, что функция сложная и хватит. А если функция вложена несколько раз? Например, корень квадратный из суммы двух логарифмов с разными основаниями, первый из которых зависит от sinx, а второй от cosx. Или арктангенс, зависящий от натурального логарифма, который, в свою очередь, зависит от х в квадрате.

    Пример 14.

    Пример 15.

    Не надо стесняться ставить скобки.

    Предыдущий пример демонстрирует выход из положения с помощью введения дополнительных обозначений. Но, на мой взгляд, это всё-таки не самый оптимальный способ для длинных вычислений. Лучший подход к дифференцированию сложной функции — скобки, которые можно дописывать явно или, по мере укрепления навыка, представлять себе мысленно.
    Расставляем скобки и постепенно снаружи внутрь раскрываем их. Содержимое очередной скобки является переменной, по которой производится дифференцирование по формуле fu·(u) . Производную fu находим по таблице производных, заменяя в формуле x на u. Если всё сделано правильно, то процесс закончится тем, что содержимое последней, самой внутренней скобки полностью совпадёт с одной из табличных формул для производных.

    Пример 16.

    PS: В примерах 11 и 14 допущены ошибки, не только упомянутые в комментариях к ним, но ещё по одной стандартной ошибке. Заметили какие?

    Переход на главную страницу сайта «Математичка».

    Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

    Есть вопросы? пожелания? замечания?
    Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

    Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

  • Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: