Как найти полный дифференциал функции
Как найти полный дифференциал функции?
При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции.
Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.
Понятие и геометрический смысл дифференциала
Пусть y = f (x) имеет производную не равную нулю.
Применяя свойства предела функции, получают равенство.
После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:
в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.
Определение 1
Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)). Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x.
Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.
Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.
Определение 2
Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.
Формы записи дифференциала
Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:
Отсюда получается формула:
Для второго порядка вводится обозначение d2y.
Свойства дифференциала
Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:
Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически:
Полный дифференциал функции
Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.
Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых. Например, если z = f(x;y) то
Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.
Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.
Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида:
- P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.
Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней. Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.
Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.
Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению:
Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:
Решая два последних равенства, можем записать:
Первое равенство дифференцируем по переменной «игрек», второе — по переменной «икс»:
Так как, получим, что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобы . Иными словами, нужно взять частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
, где — пока неизвестная функция от y.
Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) — проинтегрировать второе уравнение системы — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F:
, где — пока неизвестная функция от х.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте — по x) и приравнять ко второму уравнению системы:
а в альтернативном варианте — к первому уравнению системы:
Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте ).
Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).
Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства — в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F(x, y) = C.
Как найти полный дифференциал функции
Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции (Delta y) на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной (
Заметим, что в данном примере коэффициент (A) равен значению производной функции (S) в точке ( [A = 2
Коэффициент (A) главной части приращения функции в точке ( [
На рисунке (2) схематически показана разбивка приращения функции (Delta y) на главную часть (ADelta x) (дифференциал функции) и член высшего порядка малости (omicronleft(
Касательная (MN), проведенная к кривой функции (y = fleft( x right)) в точке (M), как известно, имеет угол наклона (alpha), тангенс которого равен производной: [tan alpha = f’left( <
Полное приращение и полный дифференциал
Вы будете перенаправлены на Автор24
Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.
В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) приращения функции и полного дифференциала.
Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.
Если аргументу $x$ дать приращение $Delta x$, а аргументу $y$ — приращение $Delta y$, то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$. Обозначение:
Записать полное приращение заданной функции
Решение:
По определению полного приращения некоторой функции найдем:
Вычислить полное приращение заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $Delta x=0,1;, , Delta y=0,1$.
Решение:
По определению полного приращения некоторой функции найдем:
$Delta z=(x+Delta x)cdot (y+Delta y)$ — полное приращение функции $z=f(x,y)$.
[Delta z=(1+0,1)cdot (2+0,1)=1,1cdot 2,1=2,31.]
Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Если для каждой совокупности $(x,y,z. t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z. t)$ в данной области.
Готовые работы на аналогичную тему
Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полное приращение:
Записать полное приращение заданной функции
Решение:
По определению полного приращения некоторой функции найдем:
$Delta w=((x+Delta x)+(y+Delta y))cdot (z+Delta z)$ — полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.
Вычислить полное приращение заданной функции $w=xyz$ в точке $(1;2;1)$ при $Delta x=0,1;, , Delta y=0,1;, , Delta z=0,1$.
Решение:
По определению полного приращения некоторой функции найдем:
$Delta w=(x+Delta x)cdot (y+Delta y)cdot (z+Delta z)$ — полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.
[Delta z=(1+0,1)cdot (2+0,1)cdot (1+0,1)=1,1cdot 2,1cdot 1,1=2,541.]
С геометрической точки зрения полное приращение функции $z=f(x,y)$ (по определению $Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$) равно приращению аппликаты графика функции $z=f(x,y)$ при переходе от точки $M(x,y)$ к точке $M_ <1>(x+Delta x,y+Delta y)$ (рис. 1).
Полный дифференциал заданной функции $z=f(x,y)$ является линейной частью приращения функции и записывается в виде
[dz=f’_
Записать полный дифференциал заданной функции
Решение:
Определим частные производные заданной функции:
По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:
[dz=1cdot Delta x+2cdot Delta y=Delta x+2cdot Delta y.]
Вычислить полный дифференциал заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $Delta x=0,1;, , Delta y=0,1$.
Решение:
Определим частные производные заданной функции:
По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:
[dz=ycdot Delta x+xcdot Delta y.]
Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полный дифференциал:
[dw=f’_
Записать полный дифференциал заданной функции
Решение:
Определим частные производные заданной функции:
По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:
[dz=zcdot Delta x+zcdot Delta y+(x+y)cdot Delta z.]
Приращения независимых переменных, а именно, $Delta x,, , Delta y,, , Delta z. Delta t$ называют дифференциалами независимых переменных $x,y,z. t$. Обозначение: $dx,dy,dz. dt$.
В новых обозначениях выражения для полного дифференциала принимает следующий вид:
Функция, имеющая непрерывные частные производные в заданной точке, является дифференцируемой в данной точке, при этом полный дифференциал функции в данной точке равен сумме произведений частных производных на дифференциалы независимых переменных соответственно.
Записать полный дифференциал заданной функции
Решение:
Определим частные производные заданной функции:
По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:
[dz=zcdot dx+0cdot dy+xcdot dz=zcdot dx+xcdot dz.]
Записать полный дифференциал заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$.
Решение:
Определим частные производные заданной функции:
По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:
[dz=ycdot dx+xcdot dy.]
Запишем полный дифференциал в заданной точке:
[dz|_ <(1,2)>=2cdot dx+1cdot dy=2dx+dy.]
Уравнения в полных дифференциалах
В этой теме мы рассмотрим метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, дадим примеры задач с полным разбором решения.
Бывает так, что дифференциальные уравнения (ДУ) вида P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 могут содержать в левых частях полные дифференциалы некоторых функций. Тогда мы можем найти общий интеграл ДУ, если предварительно восстановим функцию по ее полному дифференциалу.
Рассмотрим уравнение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 . В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Для этого должно выполняться условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .
Полный дифференциал функции U ( x , y ) = 0 имеет вид d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . С учетом условия ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x получаем:
P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y
∂ U ∂ x = P ( x , y ) ∂ U ∂ y = Q ( x , y )
Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить:
U ( x , y ) = ∫ P ( x , y ) d x + φ ( y )
Функцию φ ( y ) мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы:
∂ U ( x , y ) ∂ y = ∂ ∫ P ( x , y ) d x ∂ y + φ y ‘ ( y ) = Q ( x , y ) ⇒ φ ( y ) = ∫ Q ( x , y ) — ∂ ∫ P ( x , y ) d x ∂ y d y
Так мы нашли искомую функцию U ( x , y ) = 0 .
Найдите для ДУ ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 общее решение.
Решение
P ( x , y ) = x 2 — y 2 , Q ( x , y ) = — 2 x y
Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x :
∂ P ∂ y = ∂ ( x 2 — y 2 ) ∂ y = — 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ ( — 2 x y ) ∂ x = — 2 y
Наше условие выполняется.
На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Нам нужно найти эту функцию.
Так как ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y является полным дифференциалом функции U ( x , y ) = 0 , то
∂ U ∂ x = x 2 — y 2 ∂ U ∂ y = — 2 x y
Интегрируем по x первое уравнение системы:
U ( x , y ) = ∫ ( x 2 — y 2 ) d x + φ ( y ) = x 3 3 — x y 2 + φ ( y )
Теперь дифференцируем по y полученный результат:
∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 — x y 2 + φ ( y ) ∂ y = — 2 x y + φ y ‘ ( y )
Преобразовав второе уравнение системы, получаем: ∂ U ∂ y = — 2 x y . Это значит, что
— 2 x y + φ y ‘ ( y ) = — 2 x y φ y ‘ ( y ) = 0 ⇒ φ ( y ) = ∫ 0 d x = C
где С – произвольная постоянная.
Получаем: U ( x , y ) = x 3 3 — x y 2 + φ ( y ) = x 3 3 — x y 2 + C . Общим интегралом исходного уравнения является x 3 3 — x y 2 + C = 0 .
Разберем еще один метод нахождения функции по известному полному дифференциалу. Он предполагает применение криволинейного интеграла от фиксированной точки ( x 0 , y 0 ) до точки с переменными координатами ( x , y ) :
U ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y + C
В таких случаях значение интеграла никак не зависит от пути интегрирования. Мы можем взять в качестве пути интегрировании ломаную, звенья которой располагаются параллельно осям координат.
Найдите общее решение дифференциального уравнения ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y = 0 .
Решение
Проведем проверку, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x :
∂ P ∂ y = ∂ ( y — y 2 ) ∂ y = 1 — 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ ( x — 2 x y ) ∂ x = 1 — 2 y
Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки ( 1 ; 1 ) до ( x , y ) . Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой y = 1 от точки ( 1 , 1 ) до ( x , 1 ) , а затем от точки ( x , 1 ) до ( x , y ) :
∫ ( 1 , 1 ) ( x , y ) y — y 2 d x + ( x — 2 x y ) d y = = ∫ ( 1 , 1 ) ( x , 1 ) ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y + + ∫ ( x , 1 ) ( x , y ) ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y = = ∫ 1 x ( 1 — 1 2 ) d x + ∫ 1 y ( x — 2 x y ) d y = ( x y — x y 2 ) y 1 = = x y — x y 2 — ( x · 1 — x · 1 2 ) = x y — x y 2
Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида x y — x y 2 + C = 0 .
Определите общее решение дифференциального уравнения y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .
Решение
Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .
Так как ∂ ( y · cos x ) ∂ y = cos x , ∂ ( sin 2 x ) ∂ x = 2 sin x · cos x , то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения.
Дифференциал функции определение, виды, свойства, формула полного дифференциала функции, геометрический смысл, правило применения, примеры решения уравнений
При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции.
Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.
Понятие и геометрический смысл дифференциала
Пусть y = f (x) имеет производную
Применяя свойства предела функции, получают равенство
После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:
в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.
Определение 1
Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)).
Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x. Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.
Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.
Определение 2
Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.
Формы записи дифференциала
Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:
Отсюда получается формула:
Для второго порядка вводится обозначение d 2 y.
Свойства дифференциала
Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:
Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически,
Таблица производных
Примеры решения задач
Задача №1
Найти дифференциал функции
Задача №2
Вычислить значение дифференциала функции
при условии, что
В помощь студентам создан онлайн калькулятор, который позволяет ввести функцию, нажать кнопку и получить форму или значение дифференциала.
Если dx есть константа, то для высших порядков имеет место следующая формула:
Этот результат вытекает непосредственно из определения:
Задача №3
Найти d 2 y, если y = cos2x и x – независимая переменная.
Если x – функция от некоторой другой независимой переменной, то свойство инвариантности перестаёт работать, следовательно,
Задача №4
Найти d 2 y, если y = x 2 и x = t 3 + 1, t – независимый аргумент.
Нетрудно заметить, что если выразить y напрямую через t, то получится тот же результат.
с высокой степенью точности можно вычислить приращение любой дифференцируемой зависимости.
Раскрыв Δy, сделав соответствующие преобразования, приходят к формуле приближённых вычислений:
Задача №5
Вычислить приближённо arctg1,05.
Пусть f(x) = arctg x. Тогда
Полный дифференциал функции
Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.
Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых.
Например, если z = f(x;y) то
Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.
Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.
Заключение
Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Введение
Если найдена такая функция U ( x, y ) , то уравнение принимает вид:
dU ( x, y ) = 0 .
Его общий интеграл:
U ( x, y ) = C ,
где C – постоянная.
Если дифференциальное уравнение первого порядка записано через производную:
,
то его легко привести к форме (1). Для этого умножим уравнение на dx . Тогда . В результате получаем уравнение, выраженное через дифференциалы:
(1) .
Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах
Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
(2) .
Доказательство
Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных x и y . Точка x , y также принадлежит этой области.
Докажем необходимость условия (2).
Пусть левая часть уравнения (1) является дифференциалом некоторой функции U ( x, y ) :
.
Тогда
;
.
Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то
;
.
Отсюда следует, что . Необходимость условия (2) доказана.
Докажем достаточность условия (2).
Пусть выполняется условие (2):
(2) .
Покажем, что можно найти такую функцию U ( x, y ) , что ее дифференциал:
.
Это означает, что существует такая функция U ( x, y ) , которая удовлетворяет уравнениям:
(3) ;
(4) .
Найдем такую функцию. Проинтегрируем уравнение (3) по x от x до x , считая что y – это постоянная:
;
;
(5) .
Дифференцируем по y считая, что x – это постоянная и применим (2):
.
Уравнение (4) будет выполнено, если
.
Интегрируем по y от y до y :
;
;
.
Подставляем в (5):
(6) .
Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой
.
Достаточность доказана.
В формуле (6), U ( x , y ) является постоянной – значением функции U ( x, y ) в точке x , y . Ей можно присвоить любое значение.
Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1) .
Чтобы определить, является ли это уравнение в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение условия (2):
(2) .
Если оно выполняется, то это уравнение в полных дифференциалах. Если нет – то это не уравнение в полных дифференциалах.
Пример
Проверить, является ли уравнение в полных дифференциалах:
.
Здесь
, .
Дифференцируем по y , считая x постоянной:
.
Дифференцируем по x , считая y постоянной:
.
Поскольку:
,
то заданное уравнение – в полных дифференциалах.
Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Метод последовательного выделения дифференциала
Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d ( u ± v ) ;
v du + u dv = d ( uv ) ;
;
.
В этих формулах u и v – произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.
Пример 1
Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Преобразуем его:
(П1) .
Решаем уравнение, последовательно выделяя дифференциал.
;
;
;
;
.
Подставляем в (П1):
;
.
Метод последовательного интегрирования
В этом методе мы ищем функцию U ( x, y ) , удовлетворяющую уравнениям:
(3) ;
(4) .
Проинтегрируем уравнение (3) по x , считая y постоянной:
.
Здесь φ ( y ) – произвольная функция от y , которую нужно определить. Она является постоянной интегрирования. Подставляем в уравнение (4):
.
Отсюда:
.
Интегрируя, находим φ ( y ) и, тем самым, U ( x, y ) .
Пример 2
Решить уравнение в полных дифференциалах:
.
Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Введем обозначения:
, .
Ищем Функцию U ( x, y ) , дифференциал которой является левой частью уравнения:
.
Тогда:
(3) ;
(4) .
Проинтегрируем уравнение (3) по x , считая y постоянной:
(П2)
.
Дифференцируем по y :
.
Подставим в (4):
;
.
Интегрируем:
.
Подставим в (П2):
.
Общий интеграл уравнения:
U ( x, y ) = const .
Объединяем две постоянные в одну.
Метод интегрирования вдоль кривой
Функцию U , определяемую соотношением:
dU = p ( x, y ) dx + q ( x, y ) dy ,
можно найти, если проинтегрировать это уравнение вдоль кривой, соединяющей точки ( x , y ) и ( x, y ) :
(7) .
Поскольку
(8) ,
то интеграл зависит только от координат начальной ( x , y ) и конечной ( x, y ) точек и не зависит от формы кривой. Из (7) и (8) находим:
(9) .
Здесь x и y – постоянные. Поэтому U ( x , y ) – также постоянная.
Пример такого определения U был получен при доказательстве свойства уравнения в полных дифференциалах:
(6) .
Здесь интегрирование производится сначала по отрезку, параллельному оси y , от точки ( x , y ) до точки ( x , y ) . Затем интегрирование производится по отрезку, параллельному оси x , от точки ( x , y ) до точки ( x, y ) .
В более общем случае, нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки ( x , y ) и ( x, y ) в параметрическом виде:
x 1 = s ( t 1) ; y 1 = r ( t 1) ;
x = s ( t ) ; y = r ( t ) ;
x = s ( t ) ; y = r ( t ) ;
и интегрировать по t 1 от t до t .
Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющим точки ( x , y ) и ( x, y ) . В этом случае:
x 1 = x + ( x – x ) t 1 ; y 1 = y + ( y – y ) t 1 ;
t = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = ( x – x ) dt 1 ; dy 1 = ( y – y ) dt 1 .
После подстановки, получается интеграл по t от 0 до 1 .
Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям.
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-08-2012 Изменено: 02-07-2015