Как найти площадь сечения шара

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №8. Сфера и шар

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
  • что такое шар и его элементы;
  • уравнение сферы;
  • формула для нахождения площади поверхности сферы;
  • взаимное расположение сферы и плоскости;
  • теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.

Глоссарий по теме:

Определение

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Определение

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Определение

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Уравнение сферы

– уравнение сферы радиуса R и центром С(x; y; z).

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Определение

Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Определение

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Определение

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Определение

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сферу можно получить ещё одним способом — вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x; y; z) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

.

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x; y; z).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Определение

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR 2 – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь круга вычисляется по формуле: Sкр=πR 2 .

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: Sсф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Площадь сферы равна Sсф=4πR 2 . То есть Sсф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

С другой стороны, S=p·r.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.

Сфера и шар. Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

Шар, сфера и их части
Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

где
r – радиус сферы.

где
r – радиус шара.

Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Геометрия

Лучшие условия по продуктам от Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Понятие сферы и шара

Люди постоянно сталкиваются с предметами, имеющими форму шара. В большинстве спортивных игр (баскетболе, большом и настольном теннисе, футболе) используются мячи, которые по форме как раз являются шарами. Такую же форму имеют многие фрукты – яблоки, апельсины, мандарины. Более того, известно, что Земля, другие планеты и звезды, большинство крупных спутников также представляют собой шары.

Читайте также  Из-за чего появляется молочница у женщин

Важно отличать шар от сферы. Сферой называют только поверхность шара. Сам же шар является объемной фигурой, к нему относят всю часть пространства, ограниченную сферой.

Дадим строгие определения сферы и шара:

Отрезок, соединяющий точку на сфере с ее центром, именуется радиусом сферы. Он же называется и радиусом шара, заключенного внутри этой сферы.

Проходящий через центр сферы отрезок, чьи концы принадлежат сфере, именуется диаметром сферы. Сама сфера считается частью шара, также как и окружность считается частью круга.Показывают шар или сферу на рисунке так:

Из определения сферы явно вытекает тот факт, что все ее радиусы одинаковы. Это в свою очередь означает, что центр сферы – это середина диаметра, и диаметр вдвое длиннее радиуса.

Заметим, что сфера является телом вращения. Она получается при повороте полуокружности вокруг ее диаметра:

Уравнение сферы

В планиметрии мы уже изучали уравнения линии. Так назывались ур-ния с двумя переменными, каждое решение которых соответствовало точке на координатной плос-ти, принадлежавшей заданной линии. Если же точка не принадлежала линии, то ее координаты решением соответствующего ур-ния не являлись. В частности, нам удалось получить уравнения прямой и окружности.

Аналогично в стереометрии вводится понятие уравнения поверхности. Так как в пространстве используются уже три координаты (х, у и z), то ур-ния поверхности содержат три переменных. Координаты всякой точки, принадлежащей поверхности, будут являться решениями ур-ния этой поверхности. И наоборот, координаты точки, не принадлежащей поверхности, будут обращать ур-ние поверхности в неверное равенство.

Выведем ур-ние сферы. Пусть ее центр располагается в точке С с координатами (х, у, z), а радиус обозначен как R. Возьмем произвольную точку А на сфере. По определению сферы расстояние между А и С должно составлять R:

Точки, координаты которых удовлетворяют этому неравенству, находятся от центра сферы на расстоянии меньше ее радиуса. Это значит, что они находятся внутри сферы, то есть принадлежат шару, чьей поверхностью является рассматриваемая сфера. Если же координаты точки удовлетворяют неравенству

то можно утверждать, что точка находится вне пределов сферы, то есть она не принадлежит ни сфере, ни шару.

Задание. Напишите уравнение сферы, центр которой располагается в точке (2; – 4; 7) и чей радиус равен 3.

Решение. Здесь мы просто подставляем координаты центра сферы и ее радиус в ур-ние сферы:

Задание. Есть сфера с радиусом 9, чей центр располагается в точке О(2; 3; 4). Определите, какие из следующих точек будут принадлежать этой сфере: А(1; 7; – 4), В(0; 6; 10), С(– 2; – 1; 11), D(5; 6; 8).

Решение. Сначала составляем уравнение сферы, описанной в условии:

Равенство неверное, значит, В не располагается на сфере (более того, раз 49 2 .

Задание. Некоторое тело представляет собой шар, внутри которого есть полость, также имеющая форму шара, причем центры этих шаров совпадают. Докажите, что площадь сечения этого тела, проходящего через центр шаров, совпадает с площадью сечения, являющегося касательной к внутреннему шару.

Решение. Обозначим радиус большей сферы как R, а радиус меньшей (внутренней сферы) как r. Площадь центрального сечения в виде кольца (показано синим цветом) представляет собой разницу между площадью большого круга с радиусом R и малого с радиусом r:

Задание. Сфера радиусом 5 см касается каждой стороны треугольника со сторонами 13, 14 и 15 см. Каково расстояние между центром этой сферы и плос-тью треугольника?

Решение. Обозначим вершины треугольника точками А, В и С. Пусть

Заметим, что плос-ть АВС – секущая, а само сечение имеет форму окруж-ти. Эта окруж-ть будет касаться сторон ∆АВС, то есть она является вписанной окруж-тью. Как вычислить ее радиус НK?

Площадь ∆АВС можно найти по формуле Герона. Предварительно найдем полупериметр ∆АВС:

Пересечение двух сфер

Пусть есть две пересекающиеся сферы с центрами в точках О1 и О2 с радиусами R1 и R2 соответственно. Какую форму будет иметь линия L, по которой они пересекаются?

Эта линия является множеством точек, которые принадлежат как первой, так и второй сфере. Обозначим две произвольные точки этой линии буквами А и В:

Проведем радиусы О1А, О1В, О2А и О2В. Теперь сравним ∆АО1О2 и ∆ВО1О2. Сторона О1О2 у них общая, а другие стороны попарно равны как радиусы сфер:

Получается, что ∆АО1О2 и ∆ВО1О2 равны. Теперь из точек А и В опустим высоты на прямую О1О2. Из равенства ∆АО1О2 и ∆ВО1О2 вытекает два факта:

  • эти высоты упадут в одну точку Н;
  • эти высоты будут одинаковы, то есть АН = НВ.

Другими словами, А и В равноудалены от Н. Получается, что точки А и В находятся на окруж-ти, центр которой – точка Н. Заметим, что О1О2 – перпендикуляр к плоскости окружности, ведь О1О2⊥АН и О1О2⊥ВН.

Точки А и В были выбраны произвольно, поэтому можно утверждать, что любые точки линии L будут находиться на одной окруж-ти. Докажем и обратное утверждение – любая точка, лежащая на этой окруж-ти, будет принадлежать линии L. Возьмем на окруж-ти какую-нибудь точку С и построим радиус НС:

Теперь сравним ∆О1НС и ∆О1НА. Они прямоугольные, ведь О1Н – перпендикуляр к плос-ти окружности. Катет О1Н у них общий, а катеты АН и НС одинаковы как радиусы окруж-ти. Значит, ∆О1НС и ∆О1НА равны, и потому

Это равенство означает, что С принадлежит сфере с центром в О1. Аналогично рассмотрев ∆О2НС и ∆О2НА, можно показать, что С также принадлежит и второй сфере. Тогда С принадлежит пересечению этих сфер.

Итак, всякая точка линии L лежит на окруж-ти с центром Н, и наоборот, каждая точка этой окруж-ти лежит на линии L. Это означает, что L как раз и является этой окружностью.

Отметим ещё один факт: по неравенству треугольника отрезок О1О2 должен быть меньше суммы отрезков О1А и О2А, то есть суммы радиусов сфер.

Задание. Сферы имеют радиусы 25 см и 29 см, а расстояние между их центрами составляет 36 см. Вычислите радиус окруж-ти, по которой они пересекаются.

Решение. Пусть А – одна их точек сечения. Искомый радиус обозначим как АН. В итоге получим такую картинку:

Площадь сферы

Сферическая поверхность, как и всякая другая ограниченная поверхность, имеет какую-то площадь. Напомним, что для вычисления площадей цилиндрической и конической поверхности мы строили их плоские развертки и находили площади уже этих разверток, используя формулы из планиметрии. Оказывается, что для сферы построить такую развертку невозможно. Мы не будем доказывать строго этот факт, но он известен из географии – любая карта Земли, которая как раз и должна быть разверткой сферической поверхности нашей планеты, является неточной и сильно искажает форму и размеры континентов. Если бы существовал способ построить точную развертку, то и географические карты не имели бы таких искажений.

Однако вычислить площадь сферы всё же можно по известной формуле:

Сейчас мы не будем доказывать эту формулу. Отметим лишь, что для ее получения необходимо использовать интегралы.

Задание. Какова площадь сферы с радиусом 5 см?

Решение. Просто используем формулу:

Ответ: 100π см 2 .

Вписанные и описанные сферы

Если каждая точка многогранника лежит на поверхности сферы, то говорят, что многогранник вписан в сферу. Тогда сферу именуют описанной, а многогранник – вписанным.

Если же сфера касается каждой грани многогранника, то уже наоборот, сфера вписана в многогранник. Тогда уже сфера будет вписанной фигурой, а многогранник – описанной.

Заметим, что не в каждый многогранник может быть вписанным или описанным. Например, в куб вписать сферу можно, а в прямоугольный параллелепипед, измерения которого отличаются, уже вписать сферу не получится.

Надо отметить, что в сферу можно вписать не только в многогранник, но и другие геометрические фигуры, в частности конус и цилиндр. Здесь нужно уточнить (без доказательства), что если касание плос-ти и сферы происходит только в одной точке, то цилиндрическая и коническая поверхности касаются сферы уже по окруж-ти.

Задание. Правильная пирамида вписана в сферу. Докажите, высота этой пирамиды проходит через центр сферы.

Решение. Опустим из центра сферы О перпендикуляр ОН на основание пирамиды. Далее возьмем произвольную вершину Х основания пирамиды, и соединим ее с Н отрезком ХН. По теореме Пифагора можно вычислить длину ХН (радиус сферы ОХ обозначим, буквой R):

Получилось, что расстояние ХН не зависит от самой точки Х. То есть все вершины основания равноудалены от точки, то есть Н – центр описанной около основания окруж-ти. Это означает, что перпендикуляр ОН одновременно является высотой правильной пирамиды, ч. т. д.

Задание. Вычислите радиус описанной сферы, в которую вписан правильный тетраэдр со стороной а.

Решение. Правильный тетраэдр можно считать правильной треугольной пирамидой, поэтому (согласно предыдущей задаче) из центра сферы О можно опустить перпендикуляр на основание АВС, который упадет в точку Н – центр основания. Так как тетраэдр правильный, то ∆АВС – равносторонний, то есть Н – эта точка пересечения и медиан, и высот. Опустим из А высоту АК, она пройдет через Н. Так как АК – ещё и медиана, то

Далее найдем длину АН. Вспомним, что АН – медиана, а точка пересечения медиан Н делит их в отношении 2:1. Это значит, что

Буквой R здесь обозначен радиус описанной сферы. Осталось применить теорему Пифагора к ∆АНD:

Задание. Докажите что вокруг любого тетраэдра можно описать сферу.

Решение. Обозначим вершины произвольного тетраэдра буквами А, В, С и D. Далее на грани АВС отметим точку К – центр окруж-ти, описанной около ∆АВС. Аналогично на грани АВD отметим Н – центр окруж-ти, описанной около ∆АВD:

Напомним, что центры описанных окружностей располагаются в той точке, где пересекаются серединные перпендикуляры. Это значит, что если мы из К и Н опустим перпендикуляры на ребро АВ, то эти перпендикуляры будут серединными, то есть они попадут в одну точку М, являющуюся серединой ребра АВ.

Мы получили плос-ть НМК. Заметим, что НМК⊥АВ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, так как АВ⊥МН и АВ⊥МК. Но тогда АВС⊥МНК уже по признаку перпендикулярности плоскостей, ведь АВС проходит через АВ, являющийся перпендикуляром к НМК. По той же причине и АВD⊥НМК.

Читайте также  Чем занимаются масоны

Далее проведем через К перпендикуляр m к АВС. Он должен будет принадлежать НМК, ведь НМК⊥АВD. Аналогично и через Н проведем перпендикуляр n к АВD, который также будет принадлежать НМК.

В плос-ти НМК есть две прямые, mи n. Они либо параллельны, либо пересекаются. Но перпендикуляры к двум плос-тям могут быть параллельны только в случае, если сами эти плос-ти параллельны (или совпадают). Но АВС и АВD непараллельны и не совпадают, поэтому m и n непаралелльны, то есть они пересекаются в какой-то точке О.

Покажем, что точка О равноудалена от всех вершин тетраэдра. Сравним ∆АОК и ∆СОК. Они прямоугольные, ведь ОК – перпендикуляр к АВС. ОК – общий катет, а катеты АК и СК одинаковы как радиусы описанной окруж-ти. Значит, ∆АОК и ∆СОК равны, ОА = ОС. Аналогично рассмотрев ∆АОК и ∆ВОК, приходим к выводу, что ОА = ОВ. Далее рассматриваем ∆ОНD и ∆ОНА и получаем, что ОА = ОD. Эти три равенства все вместе означают, что О равноудалена от точек А, В, С и D. А это значит, что на сфере с центром О и радиусом ОА будут лежать все вершины тетраэдра, то есть такая сфера окажется описанной, ч. т. д.

Примечание. Несложно доказать, что описанная сфера будет единственной. Действительно, если бы около тетраэдра можно было описать две различных сферы, то они пересекались бы в точках А, В, С и D. Сферы пересекаются по окруж-ти, то есть А, В, С и D должны лежать на одной окруж-ти, но это невозможно, ведь они не располагаются в одной плос-ти. Значит, двух описанных сфер существовать не может.

Доказанное в задаче утверждение можно сформулировать несколько иначе:

Сегодня мы изучили сферу – одну из важнейших геометрических фигур. Именно сферическую форму имеют звезды и планеты. Жидкость, оказавшаяся в невесомости, также принимает форму шара. Важно запомнить, что сечение сферы имеет форму окруж-ти, и касательные к сфере обладают почти такими ми же свойствами, как и касательные к окруж-ти в планиметрии.

Формулы площади поверхности геометрических фигур

Применение формулы

Рассмотрим на примере, как вычислить площадь круглого шара, диаметр которого равен 50 см. Следуя формуле, нужно 50 разделить на два (чтобы получить радиус), возвести полученное число в квадрат и умножить всё это дело сначала на 4, затем на 3,14. В итоге получим число в 7 850 квадратных сантиметров.

Формула вычисления площади применяется не только среди учителей в школе и научных сотрудников в лаборатории. Данная формула может пригодиться обычному маляру. Ведь если шар большой, а краски мало, то возникает вопрос – хватит ли ему этой смеси, чтобы покрасить весь объект. И это далеко не единственный бытовой случай, где может пригодиться формула.

Формула вычисления объёма может пригодиться и строительной бригаде, что делает ремонт. И неважно, какой это объект – промышленное здание, небольшой дом или обычная квартира. Этим и отличаются профессионалы – они умеют применять свои знания на практике.

Но как быть, если не представляется возможным измерить объект? Такой вопрос может возникнуть в случае огромных размеров объекта или его недосягаемости. В этом случае могут помочь электронные технологии, в основе работы которых лежит сканирование пространства определёнными частотами и лазерами. С современными технологиями необязательно знать все формулы наизусть. Достаточно иметь подключение к интернету и зайти на любой онлайн-калькулятор.

Уравнение сферы

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

( x – x ) 2 + ( y – y ) 2 + ( z – z ) 2 = R 2

3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке ( x , y , z ):
x = x + R · sin θ · cos φ y = y + R · sin θ · sin φ z = z + R · cos θ
где θ ϵ [0, π ], φ ϵ [0,2 π ].

Площадь прямоугольного параллелепипеда

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара , заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс , у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс , у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Высотой шарового сектора называют высоту его сферического сегмента .

Замечание. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса с общим основанием. Вершиной конуса является центр сферы .

Трактовка значений

Это следует знать:

  • Шар – геометрический объект, получившийся в результате вращательных полукруговых движений вокруг центра. Любая точка поверхности шара находится на одинаковом расстоянии от центра.
  • Сфера – не то же самое, что шар. Если тот является объёмным объектом и включает в себя внутреннее пространство, то сфера – это лишь поверхность данного объекта и имеет только свою площадь. Иными словами – нельзя сказать, что сфера имеет такой-то объём, в отличие от шара.
  • Число «пи» – это постоянное число, равное отношению длины окружности к её диаметру. В сокращённом виде его принято обозначать числом, равным 3,14. Но на самом деле, после тройки идёт больше тысячи цифр!
  • Радиус шара равен ½ его диаметру. Точный диаметр можно вычислить с использованием нескольких плоских и ровных предметов. Нужно лишь зажать шар между этими предметами, которые зажимают шар и расположены перпендикулярно друг к другу, а затем измерить получившийся диаметр.
  • Квадратная степень обозначается в виде двойки и означает то, что это число надо умножить на само себя один раз. Если бы степень числа была в виде тройки, то умножать на само себя нужно было бы два раза. Записав выражение на бумаге, можно понять, почему используются именно двойка и тройка, а не единица и двойка.
  • Объём – величина, обозначающая размер в пространстве, занимающее объектом. От диаметра зависит объём шара. Формула будет равна четырём трети, умноженным на число «пи» и вновь умноженным на его радиус в кубе.
  • Площадь – величина, обозначающая размер поверхности объекта, но не внутреннего пространства.

Введите радиус сферы:

Сфера – геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом шара.

Площадь поверхности сферы формула:
S = 4 π R 2 , где R – радиус сферы, π – число пи

Через диаметр

Как известно, диаметр шара равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь фигуры поверхности можно, используя такой вид формулы:

S = 4 π (d/2) 2

Терминология и сферическая геометрия

Окружность на шаре, которая имеет тот же центр и радиус, что и сама фигура, а следовательно, делит её на две части, называется большим кругом. Если конкретную (произвольную) точку этого геометрического тела обозначить как его северный полюс, то соответствующая антиподальная точка будет южным полюсом. А большой круг станет экватором и будет равноудалённым от них. Если он будет проходить через два полюса, тогда это уже линии долготы (меридианы).

Круги на сфере, проходящие параллельно экватору, называются линиями широты. Все эти термины используются для приблизительно сфероидальных астрономических тел. Любая плоскость, которая включает в себя центр шара, делит его на два равных полушария (полусферы).

Многие теоремы из классической геометрии верны и для сферической, но отнюдь не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым аксиомам, например, постулату параллельности. Такая же ситуация складывается и в тригонометрии — отличия есть во многих отношениях. Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Помимо этого, две таких одинаковых фигуры будут конгруэнтными.

Площадь сферы — формулы и примеры вычислений

Важные измерения

Радиус (обозначается r) — единственное необходимое измерение. Это расстояние от любой точки на поверхности сферы до её центра. Самый длинный отрезок, равный двум r, называется диаметром (d). Земля называется сфероидом, потому что она очень близка к шару, но не идеально круглая. Она немного вытянута на северном и южном полюсах.

Впервые вычислить площадь (S) поверхности шара удалось Архимеду. Именно он установил, что для того, чтобы найти S любого трёхмерного объекта, необходимо измерить его радиус. Для сферы получилась следующая формула: S = 4 * π * r ². Для того чтобы понять, как это работает, следует рассмотреть пример. Известно, что радиус детского мяча 10 см. Остаётся ещё одна неизвестная — число π. Это математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру и равна примерно 3,14. Далее, следует подставить цифры в уравнение:

  1. S = 4 * 3,14 * 10²;
  2. S мяча равна ≈ 1256 см².
Читайте также  Что парням не нравится в девушках

Таким образом, можно найти площадь сферы через её радиус по формуле, полученной ещё в античности. Ещё одна важная характеристика — это объём (V) фигуры. Он вычисляется следующим образом: V = (4/3) * π * r³. Если придерживаться условий задачи, то V мяча = (4/3) * 3,14 * 10³ равен ≈ 4187 см ³. Сейчас можно избежать длительных расчётов, если нужно узнать площадь сферы, онлайн-калькуляторы — сервисы, которые очень в этом помогают.

Сектор сферы — это слой между двумя правильными круговыми конусами, имеющими общую вершину в центре шара и общую ось.

Надо сказать, что внутренний конус может иметь основание с нулевым радиусом. Формула, по которой определяют площадь сектора, следующая: S = 2 * π * r * h, где h — высота. К слову, эта же формула применима, если необходимо найти S части шара, отрезанной плоскостью, то есть полусферы. Такая же формула применяется при нахождении S сегмента (часть между двумя параллельными плоскостями) и зоны сферы (изогнутая поверхность сферического сегмента).

Терминология и сферическая геометрия

Окружность на шаре, которая имеет тот же центр и радиус, что и сама фигура, а следовательно, делит её на две части, называется большим кругом. Если конкретную (произвольную) точку этого геометрического тела обозначить как его северный полюс, то соответствующая антиподальная точка будет южным полюсом. А большой круг станет экватором и будет равноудалённым от них. Если он будет проходить через два полюса, тогда это уже линии долготы (меридианы).

Круги на сфере, проходящие параллельно экватору, называются линиями широты. Все эти термины используются для приблизительно сфероидальных астрономических тел. Любая плоскость, которая включает в себя центр шара, делит его на два равных полушария (полусферы).

Многие теоремы из классической геометрии верны и для сферической, но отнюдь не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым аксиомам, например, постулату параллельности. Такая же ситуация складывается и в тригонометрии — отличия есть во многих отношениях. Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Помимо этого, две таких одинаковых фигуры будут конгруэнтными.

Одиннадцать свойств

В своей книге «Геометрия и воображение» Дэвид Гилберт и Стефан Кон-Фоссен описывают свойства сферы и обсуждают, однозначны ли такие характеристики. Несколько пунктов справедливы и для плоскости, которую можно представить как шар с бесконечным радиусом:

  1. Точки на сфере находятся на одинаковом расстоянии от одной фиксированной, называемой центром. Можно сделать единственный вывод: это обычное определение и оно однозначно. А также отношение расстояний между двумя фиксированными точками является постоянным. И здесь прослеживается аналогия с окружностями Аполлония, то есть с фигурами в плоскости.
  2. Контуры и плоские участки сферы являются кругами. Это однозначное свойство, которое определяет шар.
  3. Сфера имеет постоянную ширину и обхват. Ширина поверхности — это расстояние между парами параллельных касательных плоскостей. Множество других замкнутых выпуклых поверхностей имеют постоянную ширину, например, тело Мейснера. Обхват поверхности — это окружность границы её ортогональной проекции на плоскость. Каждое из этих свойств подразумевает другое.
  4. Все точки сферы омбилические. В любой точке поверхности вектор нормали расположен под прямым углом к ней, поскольку шар — это линии, выходящие из его центра. Пересечение плоскости, которая содержит нормаль с поверхностью, сформирует кривую — нормальное сечение. Любая замкнутая поверхность будет иметь как минимум четыре точки, называемых омбилическими. Для сферы кривизны всех нормальных сечений одинаковы, поэтому омбилической будет каждая точка.
  5. У шара нет центра поверхности. Например, два центра, соответствующие минимальной и максимальной секционной кривизне, называются фокальными точками, а совокупность всех таких точек образует одноимённую поверхность. И только у шара она преобразуется в единую точку.
  6. Все геодезические сферы являются замкнутыми кривыми. Для этой фигуры они большие круги. Многие другие поверхности разделяют это свойство.
  7. Имеет наименьшую площадь при наибольшем объёме. Это определяет шар однозначно. Например, мыльный пузырь: его окружает фиксированный объём, поверхностное натяжение минимизирует площадь его поверхности для такого объёма. Конечно, пузырь не будет идеальным шаром, поскольку внешние силы, такие как гравитация, будут искажать его форму.
  8. Сфера — единственная вложенная поверхность, у которой нет границы или сингулярностей с постоянной положительной средней кривизной.
  9. Сфера имеет наименьшую общую среднюю кривизну среди всех выпуклых тел с заданной площадью поверхности.
  10. Шар имеет постоянную гауссову кривизну. Это внутреннее свойство, которое определяется путём измерения длины и углов и не зависит от того, как поверхность встроена в пространство.

Сфера превращается в себя трёхпараметрическим семейством жёстких движений. Любое вращение вокруг линии, проходящей через начало координат, может быть выражено как комбинация вращений вокруг трёхкоординатной оси.

О шаре и цилиндре

Так называлась работа, опубликованная античным математиком Архимедом. Она вышла в двух томах в 225 году до н. э. Он был первым, кто сделал полный и подробный трактат по основам вычисления площади поверхности сферы, объёма шара и аналогичных значений для таких элементов, как цилиндр. Результатами его деятельности пользуются до сих пор.

Архимед особенно гордился формулой объёма шара, где он доказал, что эта величина составляет две трети объёма описанного цилиндра. Он даже попросил сделать чертёж этих предметов на своей надгробной плите. Позже римский философ Цицерон обнаружил такую гробницу, к сожалению, сильно заросшую окружающей растительностью.

Аргумент, который Архимед использовал для доказательства формулы V шара, был довольно сложным и сильно вовлечён в его геометрию. Поэтому во многих современных учебниках используется упрощённая версия, основанная на концепции предела, которого, конечно, не было в античные времена. Великий математик создавал в сфере усечённый конус путём построения и вращения геометрических фигур, и только после этого он определил объём.

Сейчас кажется, что он специально выбирал такие оригинальные методы. Однако это был всего лишь лучший из тех, которые были ему доступны в греческой математике. Его основные работы были вновь открыты в XX веке. Например, Метод механических теорем, как он назывался в трактате автора.

Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 30 градусов к нему, равна 75п см ^ 2?

Геометрия | 10 — 11 классы

Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 30 градусов к нему, равна 75п см ^ 2.

Найти диаметр шара.

На данном Вами рисунке треугольник АОО1 — равнобедренный прямоугольный.

Углы при диаметре сечения в рисунке равны.

Обойдемся без него.

Смотрим на схематический рисунок, данный во вложении к задаче.

АС — диаметр шара и равен двум его радиусам.

АВ — диаметр сечения, также равен двум радиусам сечения.

Диаметр шара можно определить из прямоугольного треугольника АВС, где угол В — прямой, т.

К угол АВС опирается на диаметр АС,

АС — гипотенуза, и

АВ — больший катет этого треугольника.

Так как угол САВ равен 30°, диаметр АС шара равен диаметру АВ сечения, деленному на косинус 30 градусов.

Диаметр сечения равен двум радиусам, которые можно найти из площади этого сечения.

r² = 75 π : π = 75 см²

Диаметр АВ сечения = 2r = 10√3 см

АС = АВ : cos( 30°) = 10√3 : <(√3) : 2>= 20√3) : √3 = 20 см.

Диаметр шара равен d?

Диаметр шара равен d.

Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45 к нему.

Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

С рисунком и дано.

Диаметр шара равен 2m?

Диаметр шара равен 2m.

Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45 к нему.

Найти длину линии пересечения сферы с этой плоскость.

Плоскость сечения шара плоскостью проведенной через конец диаметра под углом 30 градусов к нему, равна 75пи см квадратных?

Плоскость сечения шара плоскостью проведенной через конец диаметра под углом 30 градусов к нему, равна 75пи см квадратных.

Найти диаметр шара.

Диаметр шара равен 4 м?

Диаметр шара равен 4 м.

Через конец диаметра проведена плоскость под углом зо градусов к нему.

Найдите площадь сечение шара этой плоскостью.

Диаметр шара равен 2m?

Диаметр шара равен 2m.

Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45 градусов к нему.

Найдите длину линии пересечения сферы с этой плоскостью.

1. Диаметр шара равен 4т?

1. Диаметр шара равен 4т.

Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему.

Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Диаметр шара равен 2м?

Диаметр шара равен 2м.

Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45 градусов к нему.

Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.

Диаметр шара 2m?

Диаметр шара 2m.

Через конец диаметра, лежащий на сфере, проведена плоскость под углом 30° к нему.

Найти площадь окружности , полученной в сечении.

Диаметр шара 16 см через конец диаметра под углом 60 градусов проведено сечение шара плоскостью?

Диаметр шара 16 см через конец диаметра под углом 60 градусов проведено сечение шара плоскостью.

Найдите площадь сечения знаю одно, что в 2 действия.

Первое по косинусу , а второе площадь сечения найти.

Диаметр шара равен 4 м?

Диаметр шара равен 4 м.

Через конец диаметра проведена плоскость под углом зо градусов к нему.

Найдите площадь сечение шара этой плоскостью.

На этой странице находится вопрос Площадь сечения шара плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 30 градусов к нему, равна 75п см ^ 2?, относящийся к категории Геометрия. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 — 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Геометрия. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: