Как найти периметр призмы

Призма

Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_<осн>$ — периметр основания;

$S_<осн>$ — площадь основания;

$S_<бок>$ — площадь боковой поверхности;

$S_<п.п>$ — площадь полной поверхности;

$h$ — высота призмы.

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

  1. $S=/<2>$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
  2. $S=/<2>$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
  3. Формула Герона $S=√$, где $р$ — это полупериметр $p=/<2>$
  4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
  5. $S=/<4R>$, где $R$ — радиус описанной окружности
  6. Для прямоугольного треугольника $S=/<2>$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

2. Ромб

$S=/<2>$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S=<(a+b)·h>/<2>$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S=/<4>$, где $а$ — длина стороны.

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

  1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
  2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
  2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
  5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ $<1>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<√3>/<2>$
$cosα$ $<√3>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<1>/<2>$
$tgα$ $<√3>/<3>$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ $<√3>/<3>$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Треугольная призма все формулы и примеры задач

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

  1. Определение
  2. Элементы треугольной призмы
  3. Виды треугольных призм
  4. Прямая треугольная призма
  5. Наклонная треугольная призма
  6. Основные формулы для расчета треугольной призмы
  7. Объем треугольной призмы
  8. Площадь боковой поверхности призмы
  9. Площадь полной поверхности призмы
  10. Пример призмы
  11. Задачи на расчет треугольной призмы

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы .

Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы .

Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

Объем призмы = площадь основания х высота

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как Sбок=Pосн . h, то получим:

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы :

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см 2 , то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см 3 . Если площадь основания в мм 2 , то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм 3 и т. д.

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение:

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k 2 = S12 2 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок № 14. Призма

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Понятие призмы и виды призм;
  • Элементы призмы: вершины, ребра, грани;
  • Понятие площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы, формулы для вычисления;
  • Призма как модель реальных объектов;
  • Пространственная теорема Пифагора.

Глоссарий по теме

Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

Боковые грани – все грани, кроме оснований.

Боковые ребра – общие стороны боковых граней.

Основания призмы – равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях.

Прямая призма – призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.

Правильная призма – прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех ее граней.

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней.

Параллелепипед – призма, все грани которой – параллелограммы.

Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед в основании которого лежит прямоугольник.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа,

геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. Уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ФИПИ http://ege.fipi.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Определение призмы. Элементы призмы.

Рассмотрим два равных многоугольника А1А2. Аn и В1В2. Вn, расположенных в параллельных плоскостях α и β соответственно так, что отрезки А1В1, А2В2. АnВn, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 1).

Рисунок 1 – Призма

Заметим, что каждый из n четырехугольников (A1A2B1B2, . AnA1B1Bn) является параллелограммом. Убедимся в этом на примере четырехугольника A1A2B1B2. A1A2 и B1B2 параллельны по свойству параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью. А1В1 и А2В2 по условию. Таким образом, в четырехугольнике A1A2B1B2 противоположные стороны попарно параллельны, значит этот четырехугольник — параллелограмм по определению.

Дадим определение призмы. Призма – многогранник, составленный из равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.

При этом равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Общие стороны боковых граней будем называть боковыми ребрами призмы.

Отметим, что все боковые ребра призмы равны и параллельны (как противоположные стороны параллелограммов).

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Обратите внимание, что все высоты призмы равны между собой, так как основания расположены на параллельных плоскостях. Также высота призмы может лежать вне призмы (рис. 2).

Рисунок 2 – Наклонная призма

Если боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то призма называется прямой. В противном случае, призма называется наклонной.

Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

На рисунке 3 приведены примеры прямых призм

Рисунок 3 – Виды призм.

Прямая призма называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник. В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники.

Иногда четырехугольную призму, грани которой параллелограммы называют параллелепипедом. Известный вам правильный параллелепипед – это куб.

Площадь полной поверхности призмы. Площадь боковой поверхности призмы.

Площадью полной поверхности призмы (Sполн) называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности (Sбок) призмы – сумма площадей ее боковых граней.

Таким образом, верно следующее равенство: Sполн= Sбок+2Sосн, то есть площадь полной поверхности есть сумма площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы?

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство

Боковые грани прямой призмы – прямоугольники, основания которых – стороны основания призмы, а высоты равны высоте призмы – h. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней, то есть прямоугольников. Площадь каждого прямоугольника есть произведение высоты h и стороны основания. Просуммируем эти площади и вынесем множитель h за скобки. В скобках получим сумму всех сторон основания, то есть периметр основания P. Таким образом Sбок=Pоснh.

Пространственная теорема Пифагора

Прямой параллелепипед, основание которого – прямоугольник называется прямоугольным.

Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, исходящих из одной вершины.

Рисунок 4 – Прямоугольный параллелепипед

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и найдем квадрат длины его диагонали А1С.

Для этого рассмотрим треугольник А1АС:

Ребро АА1 перпендикулярно плоскости основания (ABC) (т.к. параллелепипед прямой), значит АА1 перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе АС. Таким образом, ΔА1АС – прямоугольный.

По теореме Пифагора получаем: А1С 2 =АА1 2 +АС 2 (1).

Выразим теперь АС. По условию в основании лежит прямоугольник, значит ΔАВС – прямоугольный. По тереме Пифагора получаем: АС 2 =ВС 2 +АВ 2 .

Подставив результат в (1), получим: А1С 2 =АА1 2 +ВС 2 +АВ 2 .

Так как в основании прямоугольник, то ВС=АD.

Таким образом, А1С 2 =АА1 2 +АD 2 +АВ 2 .

Что и требовалось доказать

Доказанная теорема является аналогом теоремы Пифагора (для прямоугольного треугольника), поэтому ее иногда называют пространственной теоремой Пифагора.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найдите для каждой картинки пару

1)2) 3)

4)5)

6)

Все изображения можно разделить на две группы: призмы и многоугольники. Вспомним, что основанием призмы является многоугольник. Теперь необходимо посчитать количество вершин многоугольников в основаниях призм и сопоставить их с нужным изображением. Таким образом, получаем следующий ответ: 1 и 3, 2 и 4, 5 и 6.

Какие из перечисленных объектов могут быть элементами призмы?

1) параллельные плоскости

Вспомним сначала, какие элементы есть у призмы. Это ребра, грани, вершины, основания, высота, диагональ.

Ребра, высота и диагональ призмы представляют собой отрезок. Грани и основания – это многоугольники, то есть части плоскостей. Вершины – точки. Таким образом, подходят варианты 2, 3,4.

Призма — свойства, виды и формулы вычисления площади и объема геометрической фигуры

Трактовка понятий

Основание призмы представлено в виде двух граней (конгруэнтные многоугольники), лежащих в параллельных относительно друг друга плоскостях. К боковым граням (параллелограмм) относятся все стороны, кроме основания. Они объединяются в единую поверхность. Чтобы найти высоту, понадобится провести на рисунке отрезок, соединяющий плоскости с основаниями.

Для определения диагонали в многограннике понадобится соединить две вершины, которые принадлежат разным бокам. Другие составные элементы фигуры:

  1. Сечение диагональное. Образуется при пересечении плоскости и призмы. В результате появляется ромб, прямоугольник, квадрат.
  2. Ортогональное сечение. Получается в результате пересечения призмы и плоскости, перпендикулярной боковому ребру.

Для фигуры характерны некоторые особенности, включая основание в виде равных многоугольников. К свойствам призмы относятся равенство и параллельность боковых ребёр, представление граней в качестве параллелограммов. Объём призмы рассчитывается по следующей формуле: V=Sh, где V — объём, S — площадь основания, а h — высота.

Для вычисления площади призмы (полная поверхность) потребуется суммировать S бок. пов. и 2S основания. Если форма фигуры произвольная, тогда площадь вычисляется путём умножения периметра перпендикулярного сечения на длину ребра.

Классификация фигуры

Угол перпендикулярного сечения считается линейным при соответствующих рёбрах. Для его определения применяется транспортир. На практике встречается несколько схем построения фигуры, что зависит от вида призмы:

  1. Если основанием является параллелограмм, тогда чертится параллелепипед.
  2. Для прямой призмы характерно наличие боковых ребёр, перпендикулярных плоскости основания. Из этого утверждения вытекает следствие, что грани являются прямоугольными четырехугольниками. Другие фигуры считаются наклонными.
  3. Правильная призма — прямая с основанием в виде соответствующих многоугольников. Если боковыми гранями являются кубы, то грани представлены в виде полуправильных многогранников.
  4. Усеченная фигура имеет непараллельные основания.

Чтобы визуализировать четырёхмерный многогранник, используется диаграмма Шлегеля, развертка (объединение многоугольников малых размерностей, при этом грани разъединяются и разгибаются до их оказания в одной гиперплоскости). С помощью диаграммы можно рассмотреть треугольную, четырехугольную, пятиугольную, шестиугольную призму.

При вычислениях учитывается тип тела. Если фигура имеет сферическую симметрию, то вид тела не изменяется при его вращении в пространстве. Для двухсторонней симметрии характерна одинаковая длина правой и левой стороны относительно любой плоскости. Если симметрия нарушена, явление называется аритмией (ассиметрией). В машиностроении и компьютерных играх внешний вид детали отображается с помощью проекции — изометрия.

В геометрии встречаются следующие понятия:

  1. Скрученная призма. Представлена в виде невыпуклого многогранника, который получается в результате деления граней диагональю и вращения верхнего основания. Если последний элемент напоминает треугольник, то фигура называется многогранником Шёнхардта.
  2. Мозаика. Для неё характерна зеркальная симметрия.
  3. Связанные многогранники. Первой фигурой является треугольная призма, а последующие представлены в виде пирамиды, цилиндра, последующих однородных многогранников. Подобную теорию разработал Торольд Госсет в 1900 году.

Решение задач

На уроках геометрии ученики решают задачи на рассматриваемую тему разной сложности. Чтобы найти неизвестную, используются разные формулы. Задача № 1. Дана правильная 3-угольная призма со стороной основания 10 и высотой 15. Нужно найти S полной и боковой поверхности. Решение: так как фигура прямая, то ребро перпендикулярно основанию и соответствует высоте. Чтобы вычислить S, умножается периметр основания на высоту. S бок. пов.= Р осн h= 3х10х15=450 (кв.см).

Так как в основании находится правильный треугольник, его площадь находится путем умножения сторон на ½ и sin угла. Подставив данные, получаем 25 √3 (кв.см). S полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. пов.+2S осн.= 450+2х 25 √3=450+50√3.

Задача № 2. Дана наклонная четырёхугольная призма с боковым ребром в 12 см. В результате перпендикулярного сечения получается ромб со стороной в 5 см. Необходимо найти S бок. Решение: так как площадь боковой поверхности данной фигуры равняется произведению периметра сечения на ребро, в формулу подставляются данные.

По условию задачи, стороны ромба равняются 5 см. Периметр перпендикулярного сечения вычисляется по формуле: P=axb=5х4=20 (см). Чтобы вычислить S бок. пов., потребуется P умножить на длину бокового ребра. S бок. пов.=Pх12=240 (кв.см).

Экзаменационные примеры

Задача № 3. На чертеже находится прямая призма с основанием в виде равнобедренной трапеции. Основания последней фигуры равны 25 см и 9 см, а высота — 8 см. Необходимо вычислить двугранные углы при боковых рёбрах прямой призмы.

Решение: предварительно определяется понятие «двугранный угол». Для этого строится 2 плоскости α и β так, чтобы они пересекались по прямой СС1. Таким способом образуется двугранный угол с соответствующим ребром. Для определения его значения используется линейный угол.

Чтобы построить последнюю фигуру, понадобится поставить произвольную точку М на ребре. Через неё проводятся 2 перпендикуляра:

  • один в плоскости β (для его обозначения используется b);
  • второй в плоскости α (обозначается как а).

Угол, который образуется между прямыми, будет считаться двугранным. Чтобы найти линейный угол при СС1, учитывается перпендикулярность ребра к плоскости. Из последнего следует, что ребро перпендикулярно каждой прямой из плоскости. Угол между прямыми будет линейным.

Аналогично можно доказать, что оставшиеся углы являются линейными и образуются сторонами трапеции. Для нахождения их градусной меры используются данные задачи. Дополнительно проводятся высоты в трапеции. По условию одна равняется 8 см. Чтобы найти вторую, учитывается свойство перпендикулярности. Из него вытекает, что прямые перпендикулярны основанию (значение 9 см). При этом они образуют параллелограмм.

Так как трапеция равнобедренная, то (25−9)/2=8 (см). Учитывая, что треугольник является не только равнобедренным, но и прямоугольным, его стороны образуют углы в 45 градусов. Так как трапеция равнобедренная, то два её угла равны 45 градусов каждый. Третий и четвёртый вычисляются следующим образом: 180 град — 45 град = 135 град.

В более сложных заданиях, с которыми могут столкнуться ученики на ЕГЭ, необходимо найти уровень жидкости после её перелива в другой сосуд. Задача № 4. В сосуд в форме правильной призмы налили воду. Её уровень равен 18 см. Нужно вычислить высоту уровня воды, если её перелить в другой аналогичный сосуд, но со стороной основания в 3 раза больше первого.

Решение: Если за сторону основания правильной призмы взять a, тогда S= a ²√¾. Объём воды во второй призме будет равен: V =18 xS =18 x a²√¾=9a²√3/2. Если перелить воду в другой сосуд с основанием 3а, тогда S=9√3a²/2. Записывается равенство: 9√3a²/2xh=9a²√3/2. Высота равняется 2 см.

Как найти периметр призмы

Вы можете видеть призмы как на уроках математики, так и в повседневной жизни. Кирпич — это прямоугольная призма. Коробка апельсинового сока — это разновидность призмы. Коробка для салфеток представляе

Содержание

  • Что такое призма?
  • Периметр призмы
  • Зачем нужно рассчитывать периметр призмы?
  • Пример задачи: периметр прямоугольной призмы

Вы можете видеть призмы как на уроках математики, так и в повседневной жизни. Кирпич — это прямоугольная призма. Коробка апельсинового сока — это разновидность призмы. Коробка для салфеток представляет собой прямоугольную призму. Сараи представляют собой разновидность пятиугольной призмы. Пентагон — это пятиугольная призма. Аквариум представляет собой прямоугольную призму. Этот список можно продолжать и продолжать.

Призмы по определению являются твердыми объектами с одинаковыми формами концов, одинаковыми поперечными сечениями и плоскими боковыми гранями (без кривых). И хотя большинство математических задач и реальных примеров расчета призм связаны с формулой объема или формулой площади поверхности, есть одно вычисление, которое вам необходимо понять, прежде чем вы сможете это сделать: периметр призмы.

Что такое призма?

Общее определение призмы — это трехмерная сплошная форма, которая имеет следующие характеристики:

  • Это многогранник (то есть это прочная фигура).
  • В поперечное сечение объекта одинакова по всей длине объекта.
  • Это параллелограмм (4-сторонняя форма, в которой противоположные стороны параллельны друг другу).
  • Лица объекта плоский (без изогнутых граней).
  • Две конечные формы идентичный.

Название призмы происходит от формы двух концов, которые известны как основания. Это может быть любая форма (кроме кривых или кругов). Например, призма с треугольным основанием называется треугольной призмой. Призма с прямоугольным основанием называется прямоугольной призмой. Этот список можно продолжить.

Если посмотреть на характеристики призм, это исключает сферы, цилиндры и конусы как призмы, поскольку они имеют изогнутые грани. Это также исключает пирамиды, потому что они не имеют одинаковых форм основания или одинаковых поперечных сечений.

Периметр призмы

Говоря о периметре призмы, вы на самом деле имеете в виду периметр базовой формы. Периметр основания призмы такой же, как и периметр вдоль любого поперечного сечения призмы, поскольку все поперечные сечения одинаковы по длине призмы.

Периметр измеряет сумму длин любого многоугольника. Итак, для каждого типа призмы вы найдете сумму длин любой формы, являющейся основанием, и это будет периметр призмы.

Например, формула для нахождения периметра треугольной призмы будет представлять собой сумму трех длин треугольника, составляющего основу, или:

Периметр треугольника = a + b + c где а, б а также c — три длины треугольника.

Это будет периметр прямоугольной призмы по формуле:

Периметр прямоугольника: 2l + 2w где л — длина прямоугольника и ш это ширина.

Примените стандартные вычисления периметра к базовой форме призмы, и это даст вам периметр.

Зачем нужно рассчитывать периметр призмы?

Определение периметра призмы не кажется слишком сложным, если вы понимаете, о чем вас спрашивают. Однако периметр — важный расчет, который учитывается в формулах площади поверхности и объема для некоторых призм.

Например, это формула для определения площади поверхности правой призмы (правая призма имеет одинаковые основания и стороны, все прямоугольные):

Площадь поверхности = 2b + ph

где b равно площади основания, p равно периметру основания, а h равно высоте призмы. Вы можете видеть, что периметр необходим для определения площади поверхности.

Пример задачи: периметр прямоугольной призмы

Допустим, вам задали задачу с правильной прямоугольной призмой и попросили определить ее периметр. Вам даны следующие значения:

Чтобы найти периметр, используйте формулу для определения периметра прямоугольной призмы, так как название говорит вам, что основание — прямоугольник:

Периметр = 2l + 2w = 2 (75 см) + 2 (10 см) = 150 см + 20 см = 170 см

Затем вы можете найти площадь поверхности, потому что вам дана высота, у вас есть периметр основания и дано, что эта призма является право призма.

Площадь основания равна длине × ширине (как всегда для прямоугольника), что составляет:

Площадь основания = 75 см × 10 см = 750 см 2

Теперь у вас есть все значения для расчета площади поверхности:

Площадь поверхности = 2b + ph = 2 (750 см 2 ) + 170 см (5 см) = 1500 см 2 + 850 см = 2350 см 2

Геометрические фигуры. Призма. Объем призмы.

Призма — многогранник, 2 грани это конгруэнтные (равные) многоугольники, которые лежат в

параллельных плоскостях, а оставшиеся грани — параллелограммы, имеющие общие стороны с

этими многоугольниками. Либо (что тоже самое) — это многогранник, основаниями которого

являются равные многоугольники, а боковыми гранями — параллелограммы.

Призма является разновидностью цилиндра.

Элементы призмы.

конгруэнтными многоугольниками, которые лежат

в плоскостях, параллельных друг другу.

Боковые грани (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP) – каждая

из граней, не считая оснований. Все боковые грани – это

Боковая поверхность – сумма боковых граней.

Полная поверхность – сумма основания и боковой

Боковые ребра (AK, BL, CM, DN, EP) – общие стороны

Высота (KR) – отрезок, который соединяет плоскости, в них лежат основания призмы. Он

перпендикулярен этим плоскостям.

Диагональ (BP) – отрезок, который соединяет 2 вершины призмы, которые не принадлежат одной

Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы, а также

Диагональное сечение (EBLP) – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении получается

Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной

боковому ребру призмы.

Свойства призмы.

  • Основания призмы – это равные многоугольники.
  • Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
  • Боковые ребра призмы параллельные и равны.
  • Площадь полной поверхности призмы = сумме площади её боковой поверхности и двойной

где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.

  • Площадь боковой поверхности прямой призмы:

где P — периметр основания призмы, h — высота призмы.

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым рёбрам призмы.
  • Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих

Формула объема призмы:

где V — объем призмы,

So — площадь основания призмы,

h — высота призмы.

Привальная четырехугольная пирамида.

Свойства правильной четырехугольной призмы.

  • Основания правильной четырехугольной призмы – это 2 одинаковых квадрата;
  • Верхнее и нижнее основания параллельны;
  • Боковые грани имеют вид прямоугольников;
  • Все боковые грани равны между собой;
  • Боковые грани перпендикулярны основаниям;
  • Боковые ребра параллельны между собой и равны;
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям;
  • Углы перпендикулярного сечения — прямые;
  • Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы является прямоугольником;
  • Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям.

Формулы для правильной четырехугольной призмы.

Виды призм.

Призма, у которой в основании лежит параллелограмм, является параллелепипедом.

Прямая призма — это призма, с перпендикулярными боковыми ребрами относительно плоскости основания.

Остальные призмы являются наклонными.

Правильная призма — прямая призма, в основании у нее лежит правильный многоугольник. Боковые

грани такой призмы — одинаковые прямоугольники.

Правильная призма, у которой боковые грани – квадраты (высота равна стороне основания), называется

полуправильным многогранником.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: