Как найти корень квадрата

Вычисление квадратного корня из числа: как вычислить вручную

При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.

К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Разложение на простые множители

Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители. Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.

Теперь проверим точность метода:

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

  1. Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
  2. Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
  3. Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
  4. Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
  5. Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
  6. Повторим шаги 3—6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
  7. Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Метод обладает высокой точностью. Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.

Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.

Как быстро извлекать квадратные корни

14 декабря 2012

Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень. Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перерешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины:

  1. Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах. Особенно в текстовых;
  2. Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно.
Читайте также  Какие типы оплодотворения существуют в природе

Этот алгоритм мы сегодня и рассмотрим. Возможно, какие-то вещи покажутся вам непонятными. Но если вы внимательно отнесетесь к этому уроку, то получите мощнейшее оружие против квадратных корней.

  1. Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Таким образом, мы сократим диапазон поиска до 10 чисел;
  2. Из этих 10 чисел отсеять те, которые точно не могут быть корнями. В результате останутся 1—2 числа;
  3. Возвести эти 1—2 числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.

Прежде чем применять этот алгоритм работает на практике, давайте посмотрим на каждый отдельный шаг.

Ограничение корней

В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
.
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получим ряд чисел:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:

[Подпись к рисунку]

То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:

[Подпись к рисунку]

Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.

Отсев заведомо лишних чисел

Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.

Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:

Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа.

Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.

Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 4 9 6 5 6 9 4 1

Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:

[Подпись к рисунку]

Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:

[Подпись к рисунку]

Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

Финальные вычисления

Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.

Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный :)

Примеры вычисления корней

Теория — это, конечно, хорошо. Но давайте проверим ее на практике.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Для начала выясним, между какими числами лежит число 576:

Теперь смотрим на последнюю цифру. Она равна 6. Когда это происходит? Только если корень заканчивается на 4 или 6. Получаем два числа:

Осталось возвести каждое число в квадрат и сравнить с исходным:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Отлично! Первый же квадрат оказался равен исходному числу. Значит, это и есть корень.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Здесь и далее я буду писать только основные шаги. Итак, ограничиваем число:

Смотрим на последнюю цифру:

Возводим в квадрат:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Смотрим на последнюю цифру:

Возводим в квадрат:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

Получили ответ: 52. Второе число возводить в квадрат уже не потребуется.

Задача. Вычислите квадратный корень:

[Подпись к рисунку]

Смотрим на последнюю цифру:

Как видим, после второго шага остался лишь один вариант: 65. Это и есть искомый корень. Но давайте все-таки возведем его в квадрат и проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

Все правильно. Записываем ответ.

Заключение

Многие спрашивают: зачем вообще считать такие корни? Не лучше ли взять калькулятор и не парить себе мозг?

Увы, не лучше. Давайте разберемся в причинах. Их две:

  • На любом нормальном экзамене по математике, будь то ГИА или ЕГЭ, пользоваться калькуляторами запрещено. И за пронесенный в класс калькулятор могут запросто выгнать с экзамена.
  • Не уподобляйтесь тупым американцам. Которые не то что корни — они два простых числа сложить не могут. А при виде дробей у них вообще начинается истерика.

В общем, учитесь считать. И все будет хорошо. Удачи!

Вычислить квадратный корень из числа


Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

  • найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
  • выполнить математическое действие с дробными степенями.
Число знаков после запятой:

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

Читайте также  Где найти vin код автомобиля

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:


Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

— целую часть справа налево;

Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа.

А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

Что такое
квадратный корень

В уроке «Степень числа» мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя. Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат? Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число « 9 »?

Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.

У квадратного корня есть специальный знак. Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает « 9 », это число « 3 ». Запись извлечения квадратного корня из числа « 9 » выглядит так:

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический». Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом. Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.

  • √ −9 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
  • √ 64 = 8
  • √ −1,44 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
  • √ 256 = 16

Квадратный корень из нуля

Квадратный корень из нуля равен нулю.

Квадратный корень из единицы

Квадратный корень из единицы равен единице.

Как найти квадратный корень из числа

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто. Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от 1 до 20 .

Решение примеров с квадратными корнями

№ 307 Алимов 9 класс

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

  • √ 81 = 9
  • √ 64 = 8
  • √ 100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:

  1. забыть про запятую в исходной десятичной дроби и представить её в виде целого числа;
  2. вычислить для целого числа квадратный корень;
  3. полученное целое число заменить на десятичную дробь (поставить запятую исходя из правила умножения десятичных дробей).

Более подробно разберем на примере ниже.

№ 307 Алимов 9 класс

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби « 0,16 ».

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа « 16 ».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает « 16 ». Это число « 4 ».

Вспомним правило умножения десятичных дробей. Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой дроби.

Т.е., например, при умножении « 0,15 » на « 0,3 » в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

Значит, при вычислении квадратного корня √ 0,16 нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой. Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться два знака после запятой, как у десятичной дроби « 0,16 ».

Получается, что ответ — десятичная дробь « 0,4 ».

Убедимся, что квадрат десятичной дроби « 0,4 2 » дает « 0,16 ». Умножим в столбик « 0,4 » на « 0,4 ».

Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

Представим вместо десятичной дроби « 1,44 » целое число « 144 ». Какое число в квадрате даст « 144 »? Ответ — число « 12 ».

Так как в десятичной дроби « 1,44 » — два знака после запятой, значит в десятичной дроби, которая дала в квадрате « 1,44 » должен быть один знак после запятой.

Убедимся, что « 1,2 2 » дает в квадрате « 1,44 ».

1,2 2 = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел √ 2 , √ 3 , √ 5 , √ 6 , и т.п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен √ 2 или √ 3 и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст « 2 »? Или число « 3 »? Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя непериодическую десятичную дробь и входит в множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число « 7 ». Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно оставить с корнем.

√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора, то после вычисления квадратного корня на калькуляторе округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до « 0,001 ».

√ 15 − 2 · 4 = √ 15 − 8 = √ 7 ≈ 2,646

Читайте также  Как найти полный дифференциал функции

Как найти корень квадрата

Содержание: Алгоритм решения задач по алгебре на тему «Как извлечь квадратный корень». Теоретический материал по теме «Арифметический квадратный корень».

Арифметический квадратный корень
(теория)

Определение 1. Квадратным корнем из числа а называется число b, квадрат которого равен а.

Например, √16 = ±4, где -4 и 4 — корни из числа 16, так как (-4) 2 = 16 и 4 2 = 16, числа -4 и 4 являются корнями уравнения x 2 = 16, число +4 называется арифметическим корнем квадратного уравнения.

Определение 2. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число b, квадрат которого равен а.

Действие извлечения квадратного корня — обратное действию возведения в степень, когда по данной степени (числу) и показателю (n = 2) находят основание степени. — действие извлечения квадратного корня (показатель корня — «2» — опускают и пишут просто √а, а читают — квадратный корень из числа а):

Запомните! Неизвестное основание степени находят действием извлечения корня из степени.

Замечание. Аналогично находят корни n-й степени. Например:

Знак корня иначе называют радикалом.

ПРИМЕР. Найдите сторону квадрата а, если площадь квадрата равна 16 м 2 .

АЛГОРИТМ
«Как извлечь квадратный корень»

  1. Если под корнем стоит одно число, то подберите такое неотрицательное число, которое в квадрате даст подкоренное выражение (по «Таблице квадратов чисел и корней из чисел», см. ниже). Например:

Пусть √16 = 5, тогда 5 2 = 16 — это неверно; значит, 5 не является √16.

  1. Если под корнем стоит произведение или сумма чисел, то выполните действия под знаком корня, а затем извлекайте корень. Например:

  1. Если перед корнем стоит множитель, то найденный корень (число) умножьте на этот множитель. Например:

Таблица квадратов чисел и корней из чисел

В пересечении строки и столбца — квадрат чисел, а наоборот — корень из числа, например, √576 = 24 сначала находим десятки, потом единицы.

Вы смотрели алгоритм решения задач по алгебре на тему «Как извлечь квадратный корень».

Корни и степени

Степенью называется выражение вида .

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Это верно для . Выражение 0 0 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

  • О компании
  • Новости
  • Преподаватели
  • Достижения
  • Истории успеха
  • Отзывы
  • Социальные инициативы
  • Гарантии возврата средств
  • Свидетельства
  • Политика конфиденциальности
  • Бесплатные материалы
  • Для франчайзи
  • Для инвесторов
  • Для СМИ
  • Вакансии

Наш онлайн-курс по Физике

Все темы ЕГЭ с нуля

Можно не только читать, но и смотреть новые объяснения и разборы на нашем YouTube канале!

Пожалуйста, подпишитесь на канал и нажмите колокольчик, чтобы не пропустить новые видео

Задавайте свои вопросы в комментариях и оставляйте задачи, которые вы хотите, чтобы мы разобрали.

Мы обязательно ответим!

Мы заметили, что Вы регулярно пользуетесь нашими материалами для подготовки по физике.

Результат будет выше, если готовиться по отработанной методике.

У нас есть онлайн-курсы как для абитуриентов, так и для преподавателей.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: