Как найти центр вписанной окружности

Как найти центр вписанной окружности

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac

    $$ , где S — площадь треугольника, а $$p =frac<2>$$ — полупериметр треугольника.

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

  • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
  • В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
  • Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: $$R =frac<4S>$$, где S — площадь треугольника.
  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
  • Радиус равен половине гипотенузы: $$R = frac<2>$$.
  • Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: $$R = m_$$.

Четырехугольник, вписанный в окружность

  • Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна $$180^circ: alpha + beta + gamma +delta = 180^circ$$.
  • Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны $$180^circ$$.
  • Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: $$ABcdot DC + AD cdot BC = BD cdot AC$$.
  • Площадь: $$S = sqrt<(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)>$$, где $$p = frac<2>$$ — полупериметр четырехугольника.

Окружность, вписанная в ромб

  • В любой ромб можно вписать окружность.
  • Радиус r вписанной окружности: $$r = frac<2>$$, где h — высота ромба или $$r = frac cdot d_<2>><4a>$$, где a — сторона ромба, d1 и d2 — диагонали ромба.

Вписанная окружность (ЕГЭ 2022)

Ну что, юнга, уверен, что знаешь все про окружности?

Пров вписанную точно знаешь. А про вневписанную слышал?

Ничего страшного, сейчас ты во всём разберешься!

Вписанная окружность — коротко о главном

Вписанная в треугольник окружность — окружность, которая касается всех (трёх) сторон треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Радиусы вписанной окружности , проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника: ( displaystyle OLbot AB), ( displaystyle OMbot BC), ( displaystyle OKbot AC).

Отрезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формулам:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности:

( displaystyle S=pcdot r), где ( displaystyle p=frac<2>) — полупериметр треугольника, а ( displaystyle r) — радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность – окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (( displaystyle angle A)) и биссектрис двух внешних углов (( displaystyle angle B) и ( displaystyle angle C)).

Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности:

( displaystyle <_>=(p-a)cdot r), где ( displaystyle p=frac<2>=AK=AM) — полупериметр треугольника, а ( displaystyle r) — радиус вневписанной окружности.

Вписанная окружность — подробнее

Здесь мы будем говорить об окружностях, связанных с треугольником. Оставим пока в стороне страшное слово «вневписанная» и поговорим об окружности, вписанной в треугольник.

Итак, что же это такое?

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех(трёх) его сторон.

Для всякого ли треугольника можно подобрать такую окружность? И как найти ее центр?

На эти вопросы отвечает следующая теорема:

Во всякий треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

И повторим ещё раз то, что очень нужно запомнить:

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Если тебя заинтересовал вопрос о том, почему это все три биссектрисы обязаны пересечься, и какое отношение имеют биссектрисы к тому, что окружность касается сторон треугольника, то добро пожаловать к теме «Биссектриса».

Но для начала хватит просто запомнить то, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Теперь немножко о радиусе.

Радиус вписанной окружности

Посмотри, пусть у нас в ( displaystyle Delta ABC) вписана окружность с центром ( displaystyle O).

Тогда отрезки ( displaystyle OK), ( displaystyle OL), и ( displaystyle OM) – радиусы этой окружности.

Поэтому они, конечно же, равны, но ещё – они все перпендикулярны сторонам. Это происходит оттого, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Итак, запомни и используй:

Радиусы вписанной окружности , проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника.

Вписанная окружность и отрезки сторон треугольника

Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.

Можно ли найти как-то отрезочки ( displaystyle AK), ( displaystyle KC), ( displaystyle BL) и.д. —отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника?

Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему «Касательные, касающиеся окружности»).

Итак, начнём поиск!

Посмотри внимательно: из точки ( displaystyle A) проведено две касательных, значит их отрезки ( displaystyle AK) и ( displaystyle AM) равны.

Мы обозначим их «( displaystyle x)».

Далее, точно так же:

( displaystyle BM=BL=y) (обозначили).

( displaystyle CK=CL=z) (обозначили).

Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины «( displaystyle a)», «( displaystyle b)», «( displaystyle c)» — смотри на рисунок. Что же теперь получилось?

А вот, например, отрезок «( displaystyle a)» состоит из двух отрезков «( displaystyle y)» и «( displaystyle z)», да и отрезки «( displaystyle b)» и «( displaystyle c)» тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:

Ух ты! Выход в алгебру! Три уравнения и три неизвестных! Сейчас решим!

Сложим первые два уравнения и вычтем третье:

( displaystyle left< beginy+z=a\x+z=b\x+y=cend right.Rightarrow x+y+2z-left( x+y right)=a+b-c), то есть:

А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:

( displaystyle left< beginy+z=a\x+z=b\x+y=cend right.Rightarrow y+z+x+y-left( x+z right)=a+c-b), то есть:

И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.

Ну вот, всё нашли:

Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.

Секрет вот в чём: те стороны, на которых есть «( displaystyle x)» («( displaystyle b)» и «( displaystyle c)») будут с плюсом, а та сторона, где нет «( displaystyle x)» (это «( displaystyle a)»), будет с минусом.

Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же

На «( displaystyle a)» и «( displaystyle c)» есть «( displaystyle y)» — они с плюсом, на «( displaystyle b)» нет «( displaystyle y)» — она с минусом

На «( displaystyle a)» и «( displaystyle b)» есть «( displaystyle z)» — они с плюсом, на «( displaystyle c)» нет «( displaystyle z)» — она с минусом.

Вписанная окружность и площадь

Здесь скажем совсем коротко:

Есть такая формула:

( hugedisplaystyle S=pcdot r),

где ( displaystyle p) — это полупериметр треугольника, то есть ( displaystyle p=frac<2>), а ( displaystyle r) — радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность

Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: «вневписанная окружность»? Сначала посмотри на картинку:

Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.

Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!

Посмотри, вот так:

Захватывает дух? Насладись впечатлением.

А еще подумай над тем…

  • откуда взялся ( displaystyle Delta <_<1>><_<2>><_<3>>);
  • что это за точка ( displaystyle O);
  • что это вообще за тьма линий на рисунке.

А сейчас вернёмся к одной какой-нибудь вневписанной окружности и узнаем всего один, но очень важный факт:

До дальней точки касания вневписанной окружности ровно полупериметр

или что то же самое: ( displaystyle AK=AM=p), где ( displaystyle p) — полупериметр.

Доказывать не будем, но ещё раз посмотри и запомни:

До «дальней» точки касания вневписанной окружности – ровно полупериметр треугольника.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете.

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись».
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы:

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Слово лучшему ученику — тебе!

Навыки работы с окружностями показывают, насколько ты хорош в планиметрии. Это действительно сложная тема.

А сегодня ты с ней разобрался. Ты большой молодец!

Мы будем очень рады узнать твое мнение об этой статье. Для нас оно очень важно.

Напиши внизу в комментариях, что думаешь об этой статье. Помогла ли она тебе?

Нравится ли тебе работать с окружностями? И стало ли это делать легче после прочтения этой статьи? 🙂

Остались вопросы? Задай их! Там же, в комментариях.

Мы обязательно ответим тебе!

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Андрей
11 июля 2018
Прекрасное обьяснение, спасибо большое!

Александр (админ)
12 июля 2018
И тебе спасибо, Андрей. За теплые слова.

Юлия
09 сентября 2018
все просто и понятно, спасибо большое!

Александр (админ)
09 сентября 2018
И тебе спасибо, Юлия! Очень приятно слышать!

Миша
28 сентября 2018
не подскажите, почему отрезок о3б перпендикулярен отрезку о1о2?

Александр
21 августа 2019
Это биссектрисы смежных углов.

Денис
24 февраля 2019
Божественные рисунки!) Мне в школе для урока по геометрии надо подготовить несколько рисунков. Подскажите, пожалуйста, какой программой вы пользуетесь для построения рисунков?

Александр (админ)
07 марта 2019
Денис, прошу прощения, пост твой пропустил. Только сейчас отвечаю. Но врядли чем-то помогу. Рисунки делались так: сначала их от руки делала Елена Евгеньевна (наш математик), а потом профессиональный дизайнер Настя их перерисовывала. По-моему в фотошопе.

Вписанная окружность

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность. На рисунке 1 четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный АВС.

Доказать: в АВС можно вписать окружность.

Доказательство:

1. Проведем биссектрисы углов А, В и С, которые пересекутся в точке О (следствие из свойства биссектрис). Из точки О проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (Рис. 2).

2. Точка О равноудалена от сторон АВС (свойство биссектрис), поэтому ОК = ОL = ОМ. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны АВС касаются этой окружности в точках К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в АВС. Теорема доказана.

Замечание 1

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, значит в треугольник можно вписать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

Доказательство

На рисунке 2 мы видим, что АВС составлен из трех треугольников: АВО, ВСО и САО. Пусть АВ, ВС и АС основания треугольников АВО, ВСО и САО соответственно, тогда высотами данных треугольников окажутся отрезки ОК = ОL = ОМ = r ( r — радиус окружности с центром О). Следовательно, площади этих треугольников вычисляются по формулам: . Тогда, по свойству площадей, площадь треугольника АВС выражается формулой: , где — периметр АВС. Что и требовалось доказать.

Замечание 3

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т.е. прямоугольник, не являющийся квадратом. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон (Рис.3), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.к. диаметр окружности меньше большей стороны прямоугольника т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать.

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, описанный около окружности (Рис. 4).

На рисунке 4 одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда АВ + СD = и ВС + АD = , следовательно, АВ + СD = ВС + АD.

Верно и обратное утверждение:

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство

Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСD

АВ + СD = ВС + АD. (1)

Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис), поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (Рис. 5).

Докажем, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырехугольник АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда прямая СD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (Рис. 6). Проведем касательную С1D1, параллельную стороне СD (С1 и D1 — точки пересечения касательной со сторонами ВС и АD).

Так как АВС1D1 — описанный четырехугольник, то по свойству его противоположных сторон

АВ + С1D1 = ВС1 + AD1. (2)

Но ВС1 = ВСС1С, АD1 = АDD1D, поэтому из равенства (2) получаем:

С1D1 + С1С + D1D = ВС + АDАВ.

Правая часть этого равенства в силу (1) равна СD. Следовательно, приходим к равенству

т.е. в четырехугольник С1СDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, т.к. к аждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. Значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны СD. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

.

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

то, в случае равностороннего треугольника, когда

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

  1. Свойства вписанной окружности
  2. В треугольник
  3. В четырехугольник
  4. Примеры вписанной окружности
  5. Верные и неверные утверждения
  6. Окружность вписанная в угол

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac<1><2>(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac<1><2>(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
    • Четырехугольник
    • Многоугольник

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Как найти центр вписанной окружности

    Во всякий треугольник можно вписать и притом только одну окружность, причем центр ее совпадает с точкой пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

    Для нахождения радиуса r вписанной окружности в треугольник с площадью S и полупериметром p обычно используют формулу .

    Доказать, что если , и – высоты треугольника и r – радиус вписанной в это треугольник окружности, то .

    Указание : доказательство следует из выше приведенной формулы для радиуса r, а также из соотношений, связывающих площадь, высоты и соответствующие им стороны треугольника.

    В сектор круга радиуса R с центральным углом a вписан другой круг. Найти радиус вписанного круга. Решение

    Пусть в сектор ABC с углом B , равным a , и AB = BC = R вписана окружность. Проведем к этой окружности касательную в точке H параллельно AC так, чтобы окружность оказалась вписанной в треугольник MBP , где M и P – точки пересечения касательной с лучами BA и BC . Ясно, что D ABC подобен D MBP .
    Так как BH = R и (см. рисунок), то коэффициент подобия треугольников ABC и MBP равен .
    Пусть r – радиус окружности, вписанной в треугольник ABC . Тогда искомый радиус окружности, вписанной в треугольник MBP , будет равен r Ч k .

    и полупериметр треугольника ABC равен .

    Откуда получаем , а значит окончательно получаем, что .

    @ Полезной для нахождения радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a , b и гипотенузой c является формула ,

    где c – гипотенуза, a и b – катеты треугольника.

    Учитывая, что отрезки касательных из внешней точки к окружности равны, получим рисунок, из которого видно
    a + b = (r + x) + (r + y) = 2r + (x + y) = 2r + c ,
    откуда и следует указанная формула.

    Пример 6.5.3.

    В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен r и один из катетов равен a . Найти другой катет. Решение

    Пусть b – другой катет и c – гипотенуза. Тогда согласно предыдущей формуле a + b = 2r + c , т.е. c = a + b — 2r .
    По теореме Пифагора , т.е. и .

    @ Когда речь идет о радиусе вписанной окружности в равнобедренный треугольник, полезными являются следующие два соображения:

    1)
    O – центр вписанной окружности в D ABC , O – высота, Р A = Р C = a . Тогда и , где удобно находить по формулам
    .
    2)
    O – центр вписанной окружности в D ABC , AB = BC, M и P – точки касания окружности со сторонами AB и BC , BH – высота, D – точка пересечения отрезков MP и BH. Ясно, что MD = DP. Оказывается , что если Р A = a , то и Р MOD = a (острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами), т.е. D ABH подобен D OMD и MD = r sin a .
    Использование этих соображений для равнобедренного треугольника и вписанной в него окружности, как правило, приводит к решению такого рода задач. Проиллюстрируем это на примере одной задачи вступительного экзамена на математический факультет КубГУ.

    Пример 6.5.4. (КубГУ, матем., 1989 г.)

    В параллелограмме ABCD сторона AD имеет длину 6 см. Биссектриса угла ADC пересекает прямую AB в точке E . В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке H . Длина отрезка KH равна 3 см. Найти величину угла BAD . Решение

    По свойству параллельных прямых углы AED и EDC равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей DE . Но DE – биссектриса угла ADC , поэтому Р ADF = Р EDC . Откуда следует Р ADE = Р AED , т.е. треугольник AED является равнобедренным. Для краткости полагаем a = Р BAD = Р EAD .
    Сделаем другой чертеж.
    Пусть O – центр вписанной окружности в треугольник AED , где AE = AD , P – основание высоты из вершины A , M – точка пересечения AP и KH . Так как D ADE равнобедренный, то AP – биссектриса угла A , а значит точка O лежит на AP и KM = MH , т.е. .
    Пусть r – радиус окружности, вписанной в D ADE . Ясно, что KH ^ AP и Р AEP = Р KOM как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Но в D KOM угол OKM дополняет угол KOM до 90° , и в D APE угол EAP дополняет угол AEP до 90° , а значит .
    Из D KOM имеем , т.е. .
    Далее, так как EO – биссектриса угла E и Р EAD = a , то легко следует, что .
    Откуда из прямоугольного треугольника OEP находим .
    Но из D EAP имеем .

    Учитывая, что , имеем .

    Ранее было показано, что , откуда получаем уравнение , где .

    Полагая , находим , т.е. .

    Откуда следует и , а значит .

    @ Перейдем к рассмотрению окружности, описанной около треугольника. Известно, что около всякого треугольника можно описать и притом только одну окружность, причем ее центр совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Если центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника, то центр описанной окружности около треугольника может быть внутри (треугольник остроугольный), вне (треугольник тупоугольный) и на стороне (в середине гипотенузы прямоугольного треугольника).

    Одной из наиболее употребимых на вступительных экзаменах формул для нахождения радиуса описанной около треугольника окружности является , где a – длина стороны треугольника и a – угол, противолежащий этой стороне.

    AH – высота треугольника ABC , у которого AB = 24 и . Найти радиус описанной окружности около треугольника ABC . Решение Как видно из рисунков, в зависимости от видов треугольников можем иметь , либо , т.к. .

    В обоих случаях .

    Откуда по формуле окончательно находим .
    Ответ: 13 .

    @ Также для нахождения радиуса описанной окружности необходимо знать стандартную формулу ,

    где a, b, c – стороны и S – площадь треугольника.

    В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 10 , диагональ 17 и высота 8 . Найти радиус описанной около трапеции окружности. Решение

    Пусть ABCD – трапеция, у которой AB = CD , BM и CP – высоты.
    Из треугольника ACP по теореме Пифагора находим ,

    Из треугольника PCD имеем
    , а значит, AD = AP + PD = 15+6 = 21 и

    Так как данная окружность является описанной около треугольника ACD , то окончательно находим
    .

    Ответ: .

    Так как центр описанной окружности около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы, то медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной окружности. Это полезное соображение часто помогает упростить ход рассуждений при решении задач на прямоугольный треугольник. Проиллюстрируем это на примере.

    Пример 6.5.7. (КубГУ, матем., 1994 г.)

    В прямоугольном треугольнике медиана равна m и делит прямой угол в отношении 1 : 2 . Найти площадь треугольника. Решение

    Так как радиус описанной окружности около треугольника ABC равен OC = OA = OB , то ясно, что треугольник BOA является равносторонним и поэтому AB = OB = m , Р A = 60° .
    Откуда следует и .
    Ответ: .

    @ При решении планиметрических заданий необходимо уделять внимание построению удобного для решения чертежа. Чертеж должен быть для наглядности большим и желательно без лишних построений. Так при нахождении радиусов вписанной или описанной окружности около треугольника часто саму окружность в черновике не изображают. В этом смысле “плохим” является чертеж в примере 6.5.2.

    Покажем решение одного задания без изображения окружностей.

    Основание равнобедренного треугольника равно 8 см, а высота, опущенная на основание, равна 3 см. Найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей. Решение

    Пусть b – высота D ABC и AC = 8 , BH = 3 . Центры вписанной и описанной окружностей лежат на прямой b (так как b – биссектриса угла B и серединный перпендикуляр к AC ).
    По теореме Пифагора из D ABH имеем и тогда BC = 5 .
    Ясно, что .
    Учитывая, что полупериметр треугольника ABC равен 9, находим радиус вписанной окружности .
    Центр вписанной окружности принадлежит отрезку BH .
    Теперь находим радиус описанной окружности . Так как , то центр O окружности, описанной около треугольника ABC , лежит вне треугольника (см. рисунок).

    Теперь , а значит, (см).

    @ Следует отметить огромное значение при решении планиметрических заданий удачного дополнительного построения на чертеже, соответствующего условию задания. Для иллюстрации роли дополнительных построений приведем два способа решений одной задачи вступительных устных экзаменов на математический факультет в КубГУ.

    Внутри угла B , равного a (0 a /2) расположена точка M , расстояния от которой до сторон угла равны a и b . Найти BM . Решение

    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Добавить комментарий

    ;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: