Что такое колебательные движения

Гармонические колебания

О чем эта статья:

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

  • Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

  • сама колебательная система
  • источник энергии
  • устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [-]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [-]

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

xmax— амплитуда [м]

t — момент времени [с]

2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

xmax— амплитуда [м]

t — момент времени [с]

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

  • В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линии.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

l — длина нити [м]

g — ускорение свободного падения [м/с^2]

На планете Земля g = 9,8 м/с2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

  • Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
  • Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Физика. 11 класс

Конспект урока

Физика, 11 класс

Урок 1. Механические колебания

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

Виды механических колебаний;

Характеристики колебательных движений;

Глоссарий по теме

Механические колебания – это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.

Колебания, происходящие под действием внутренних сил в колебательной системе, называют свободными.

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически меняющейся силы.

Амплитуда – это наибольшее смещение колеблющейся величины от положения равновесия.

Период – это время одного полного колебания.

Частота колебаний – это число колебаний за единицу времени.

Фаза колебаний – это физическая величина определяющая отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени.

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему с частотой свободных колебаний.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Чаругин В.М. Физика.11 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 53 – 73.

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс. — М.: Дрофа, 2009. – С. 59 – 61.

  • Степанова. Г.Н. Сборник задач по физике. 10-11 класс. М., Просвещение 1999 г.
  • Е.А. Марон, А.Е. Марон. Контрольные работы по физике. М., Просвещение, 2004

Основное содержание урока

Мир удивителен и многообразен. Мы каждый день наблюдаем разные движения тел. Все мы видели, как раскачивается ветка на ветру, лодка на волнах, качели, деревья при ветре. Чем эти движения отличаются от движения тележки движущейся прямолинейно? Мы видим, что в отличие от движения тележки движущейся прямолинейно, движения всех этих тел повторяются через определенный промежуток времени.

Механические колебания – это физические процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени.

Колебания играют огромную роль в нашей жизни. Примерами колебаний в нашем организме являются биение сердца, движение голосовых связок. Колебания происходят и в жизни нашей планеты (приливы, отливы, землетрясения) и в астрономических явлениях (пульсации звезд). Одним из грозных явлений природы является землетрясение – колебание земной поверхности. Строители рассчитывают возводимые ими сооружения на устойчивость при землетрясении.

Без знания законов колебаний нельзя было бы создать, телевидение, радио и многие современные устройства и машины. Неучтенные колебания могут привести к разрушению сложных технических сооружений и вызвать серьезные заболевания человека. Все это делает необходимым их всестороннее изучение.

Основным признаком колебательного движения является его периодичность. Колеблющееся тело за одно колебание дважды проходит положение равновесия. Колебания характеризуются такими величинами как период, частота, амплитуда и фаза колебаний.

Читайте также  Что такое фрикционная безработица

Амплитуда – это наибольшее смещение колеблющейся величины от положения равновесия.

При малых амплитудах путь пройденный телом за одно полное колебание равен примерно четырем амплитудам.

Промежуток времени, в течение которого тело совершает одно полное колебание, называют периодом колебаний.

Период – это время одного полного колебания.

Чтобы найти период колебаний нужно разделить время колебаний на число колебаний.

Частота колебаний – это число колебаний за единицу времени.

Единица частоты названа в честь немецкого ученого Г. Герца.

Фаза колебаний – это физическая величина определяющая отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени.

Во всех колебательных системах действуют силы, стремящиеся вернуть тело в состояние устойчивого равновесия. Существуют несколько типов маятников: нитяные и, пружинные и т.д. Под словом «маятник» понимают твердое тело способное совершать колебания под действием приложенных сил около неподвижной точки или вокруг оси.

Мы с вами будем рассматривать пружинный и математический маятники.

Пружинный маятник. Колебательная система в этом случае представляет собой тело, прикрепленное к пружине. Колебания в таком маятнике возникают под действием силы упругости пружины и силы тяжести.

Период колебаний пружинного маятника:

T- период колебаний пружинного маятника

m – масса подвешенного груза

Математический маятник.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на длинной нерастяжимой нити.

Математический маятник — это идеализированная модель. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного тела и масса нити ничтожна по сравнению с массой тела. Колебания такого маятника происходят под действием силы натяжения нити и силы тяжести. Формула для расчета периода колебаний математического маятника была выведена Гюйгенсом.

T – период колебаний математического маятника

– длина нити маятника

– ускорение свободного падения

Гюйгенс доказал, что период малых колебаний маятника не зависят от времени. Используя это свойство, названное изохронностью маятника Гюйгенс в тысяча шестьсот пятьдесят седьмом году, сконструировал первые маятниковые часы. Это свойство маятника было открыто 19-летним Галилеем более чем за 20 лет до открытия Гюйгенса. Наблюдая за тем, как раскачиваются в соборе светильники, подвешенные на нитях одинаковой длины, он заметил, что их период колебаний не зависит от времени. Наручных часов тогда не было, и юный Галилей пришёл к решению, которое для многих поколений будет служить образцом блеска и остроумия человеческой мысли: он сравнил колебания маятника с частотой биения собственного сердца.

Гармоническими являются колебания, происходящие под действием силы пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно этому смещению. Уравнение гармонических колебаний:

x – координата колеблющейся величины

– амплитуда колебаний

ω — циклическая частота

При наличии сил трения в системе колебания затухают. Амплитуда колебаний в этом случае со временем уменьшается. Иногда возникает необходимость в гашении колебаний, к примеру колебания кузова, на рессорах при езде на автомобиле. Для гашения колебаний применяют специальные амортизаторы. С кузовом связывают поршень, который при колебаниях движется в цилиндре, заполненном жидкостью. Большое сопротивление жидкости приводит к гашению колебаний.

Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными.

Если частота изменения внешней силы не равна частоте свободных колебаний системы, то внешняя сила будет действовать не в такт со свободными колебаниями самой системы. В этом случае амплитуда колебаний будет определяться максимальным значением действующей на систему внешней силы.

Если частота изменения внешней силы совпадет с частотой свободных колебаний, то будет наблюдаться резкое возрастание амплитуды колебаний, так как внешняя сила в этом случае будет действовать в такт со свободными колебаниями этой системы.

ω — частота изменения внешней силы.

ω – частота свободных колебаний системы.

Впервые явление резонанса было описано Галилеем. Явление резонанса играет большую роль в природе, технике и науке. Большинство сооружений и машин обладая определенной упругостью, способно совершать свободные колебания. Поэтому внешние периодические воздействия могут вызвать их резонанс, что может стать причиной катастроф. Известно много случаев, когда источником опасных колебаний были люди, идущие в ногу. Так, в 1831 году в городе Манчестер при прохождении по мосту колонны солдат строевым шагом мост разрушился. Аналогичный случай был в г. Петербурге в 1905 году. При прохождении моста через реку Фонтанка эскадроном гвардейской кавалерии мост обрушился. Для предотвращения резонансных явлений используют разные способы гашения вынужденных колебаний. Один способ состоит в изменении частоты свободных колебаний в системе. Другой способ состоит в увеличении силы трения в системе: чем больше сила трения, тем меньше амплитуда резонансных колебаний

Разбор тренировочных заданий

1. Найдите массу груза, который на пружине жесткостью 250 Н/м делает 20 колебаний за 16 с.

Напишем формулу периода пружинного маятника

Из этой формулы выразим массу

Период колебаний груза найдём через время колебаний и число колебаний по формуле:

Подставляем числовые значения величин

Следовательно масса равна:

2. На нити подвешен шарик массой 0,1 кг. Шарик отклонили на высоту 2,5 см (по отношению к положению равновесия) и отпустили. Определите максимальную скорость шарика.

Скорость колеблющегося шарика максимальна в момент прохождения положения равновесия.

Для решения задачи применим закон сохранения энергии:

Подставляем числовые значения величин:

Ответ:

Колебательное движение. Свободные колебания. Колебательные системы. Маятник

Урок 23. Физика 9 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Колебательное движение. Свободные колебания. Колебательные системы. Маятник»

Рожденный пустыней,

Колеблется звук,

Колеблется синий

На нитке паук.

Колеблется воздух,

Прозрачен и чист,

В сияющих звездах

Колеблется лист.

Николай АлексеевичЗаболоцкий

В данной теме рассмотрим еще один вид неравномерного движенияколебательное движение.

Колебательные движения широко распространены в окружающей нас жизни. Примерами колебаний могут служить: движение иглы швейной машины, качелей, маятника часов, вагона на рессорах, работа сердечной мышцы, колебания дерева на ветру, крыльев птиц, насекомых и многих других тел.

На рисунке изображены тела, которые могут совершать колебательные движения, если их вывести из положения равновесия.

В движении этих тел можно найти много различий. Например, шарик на нити движется криволинейно, а цилиндр на пружине — прямолинейно; верхний конец линейки колеблется с большим размахом, чем средняя точка струны.

Но при всем разнообразии этих движений у них есть важная общая черта: через определенный промежуток времени движение любого тела повторяется.

Движение, при котором состояния тела с течением времени повторяются, причем тело проходит через положение устойчивого равновесия поочередно в противоположных направлениях, называют механическим колебательным движением.

Действительно, если, например, стрелку метронома отвести от положения равновесия и отпустить, то она, пройдя через положение равновесия, отклонится в противоположную сторону, остановится, а затем вернется к месту начала движения. За этим колебанием последует второе, третье и т. д., похожие на первое.

Если состояния движения тела повторяются через определенные промежутки времени, то колебания называются периодическими.

Таким образом, основным признаком, по которому можно отличить колебательное движение от других видов движения, является периодичность.

Остановимся более подробно на колебаниях.

Рассмотрим шарик прикрепленный к пружине (другой конец которой прикреплен к вертикальной стойке). Шарик может свободно скользить, т. е. силы трения настолько малы, что не оказывают существенного влияния на его движение. Когда шарик находится в точке О, пружина не деформирована, поэтому никакие силы в горизонтальном направлении на него не действуют. Точка О— положение равновесия шарика.

Переместим шарик в точку В. Пружина при этом растянется, и в ней возникнет сила упругости. По закону Гука эта сила пропорциональна смещению (т.е. отклонению шарика от положения равновесия) и направлена противоположно ему. Значит, при смещении шарика вправо действующая на него сила направлена влево, к положению равновесия.

Если отпустить шарик, то под действием силы упругости он начнет ускоренно перемещаться влево, к точке О. Направление силы упругости и вызванного ею ускорения будет совпадать с направлением скорости шарика, поэтому по мере, приближения шарика к точке О его скорость будет все время возрастать. При этом сила упругости с уменьшением деформации пружины будет уменьшаться.

Читайте также  Что такое объект и субъект уголовного права

Известно, что любое тело обладает свойством сохранять свою скорость, если на него не действуют силы или если равнодействующая сил равна нулю. Поэтому, дойдя до положения равновесия, где сила упругости станет равна нулю, шарик не остановится, а будет продолжать двигаться влево.

При его движении от точки О к точке А пружина будет сжиматься. В ней снова возникнет сила упругости, которая и в этом случае будет направлена к положению равновесия.

Поскольку сила упругости направлена против скорости движения шарика, то она тормозит его движение. В результате в точке А шарик остановится. Сила упругости, направленная к точке О, будет продолжать действовать, поэтому шарик вновь придет в движение и на участке АО его скорость будет возрастать.

Движение шарика от точки О к точке В снова приведет к растяжению пружины, вследствие чего опять возникнет сила упругости, направленная к положению равновесия и замедляющая движение шарика до полной его остановки. Таким образом, шарик совершит одно полное колебание. При этом в каждой точке его траектории (кроме точки О) на него будет действовать сила упругости пружины, направленная к положению равновесия.

Под действием силы, возвращающей тело в положение равновесия, тело может совершать колебания как бы само по себе. Первоначально эта сила возникла благодаря тому, что была совершена работа по растяжению пружины, сообщив ей некоторый запас энергии. За счет этой энергии и происходили колебания.

Если колебания происходят в системе благодаря начальному запасу энергии, или, говорят, только под действием внутренних сил, то такие колебания называют свободными.

Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними образуют систему тел, которая получила название колебательной системы.

Колебательная система — это физическая система, в которой при отклонении от положения равновесия возникают и существуют колебания

В рассмотренном примере в колебательную систему входят шарик, пружина и стойка, к которой прикреплена пружина.

Рассмотрим другую колебательную систему, состоящую из шарика, нити, штатива и Земли (Земля на рисунке не показана).

В данном случае шарик совершает свободные колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости нити. Их равнодействующая направлена к положению равновесия.

Что же необходимо для того, чтобы свободные колебания возникли? Сформулируем условия возникновения колебаний в системе.

Для этого рассмотрим следующие примеры. Вот три положения тела: в чашке, на перевернутой чашке и на горизонтальном столе.

Что произойдет, если отпустить тело или толкнуть его, добавив при этом избыток энергии. Тело в чашке начнет совершать колебательные движения туда и обратно. То что находится на чашке — скатится, и никакого колебательного движения не будет. Тело же, находящееся на горизонтальной поверхности покатится в сторону и со временем остановится.

Напомним, что существуют три типа равновесия тела: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

1) Для того, чтобы в системе возникли свободные колебания, обязательно необходимо наличие положения устойчивого равновесия системы — это такое положение, где равнодействующая сила равна нулю.

2) Необходимо наличие у тела избыточной механической энергии по сравнению с ее энергией в положении устойчивого равновесия. Так, например, для того чтобы тело в чашке начало совершать колебательное движение, его необходимо вывести из положения равновесия, т.е. сообщить ему избыток потенциальной энергии.

3) Действие на тело возвращающей силы, т.е. силы, направленной всегда к положению равновесия. В нашей системе — это равнодействующая силы тяжести и силы реакции опоры.

4) В идеальных колебательных системах должны отсутствовать силы трения. Т.е. чтобы колебание возникло и продолжалось, избыточная энергия, полученная телом при смещении из положения устойчивого равновесия, не должна быть полностью расходована на преодоление сопротивления при возвращении в это положение.

Вообще, колебательные системы — это довольно широкое понятие, применимое к разнообразным явлениям. Рассмотренные колебательные системы называются маятниками. Существует несколько типов маятников: нитяные, пружинные и т.д.

В общем случае под словом «маятник» понимают твердое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или вокруг оси.

Основные выводы:

– Механическое колебательное движение — движение, при котором состояния тела с течением времени повторяются, причем тело проходит через положение устойчивого равновесия поочередно в противоположных направлениях.

– Если колебания происходят в системе только под действием внутренних сил, то такие колебания называют свободными.

– Колебательная система — физическая система, в которой при отклонении от положения равновесия возникают и существуют колебания.

– Маятник — твердое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или вокруг оси.

Колебательное движение

Определение и основные понятия колебательного движения

Колебательное движение (колебание) — это любое движение или изменение состояния, которое повторяется во времени, соответственно повторяются значения физических величин, которые характеризуют данное движение или состояние.

Различные физические явления представляют собой колебания: звуковые колебания, электромагнитные, механические и т.д. У всех этих явлений существует общее в законах и математических методах, при помощи которых они описываются.

Колебательное движение называется периодическим, если переменные параметры этих колебаний повторяются через равные промежутки времени.

Колебания называются свободными, если они происходят в системе, на которую не действуют внешние силы (или действие их взаимно скомпенсировано).

Такая система один раз выводится из состояния равновесия. Если колебательная система консервативная, то рассеяния энергии при колебаниях нет. В таком случае свободные колебания являются незатухающими. Свободные незатухающие колебания, которые происходят под воздействием упругих сил, являются гармоническими.

Периодом незатухающих колебаний называют минимальный промежуток времени ($T$) по истечении которого происходит повторение значений всех физических параметров, которые характеризуют колебание.

Частотой колебаний ($nu $) называют величину обратную периоду колебаний, это количество полных колебаний, которое совершает колебательная система:

Гармонические колебания

Самым простым типом колебаний считают гармонические колебания.

Колебания называют гармоническими, если изменения физической величины описывается при помощи закона синуса или косинуса.

Пусть происходят гармонические колебания никоторого параметра $s$, тогда они описываются как:

где $A=s_$ — амплитуда колебаний (постоянна во времени); $_0$ — циклическая (круговая) частота колебаний (с течением времени не изменяется); $varphi $ — начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $(_0t+varphi )$ — фаза колебаний. Величина $s$ изменяется $-Ale sle $+A.

Те же самые колебания можно описать как:

За время равное периоду колебаний фаза изменяется на величину равную $2pi $, поэтому:

Циклическая частота $_0$ равна числу полных колебаний, которые совершаются колебательной системой за $2pi $c:

Дифференциальное уравнение колебательного движения

Линейное дифференциальное уравнение гармонических колебаний представляет собой выражение:

Решениями уравнения (6) является выражения (2) и (3). Уравнение вида (6) называют уравнением гармонического осциллятора, а колебательную систему, которая совершает эти колебания гармоническим осциллятором (примерами гармонических осцилляторов являются: пружинный маятник, физический маятник, электрический колебательный контур).

Представление гармонических колебаний в комплексной форме

Сложение, разложение на составляющие и другие операции при изучении гармонических колебаний проще проводить, если представить уравнение гармонических колебаний в комплексной форме. При этом вместо действительной формы записи (2 и 3) используют комплексную:

Величина $tilde$ является комплексной и не дает реального физического отклонения, которое характеризуется вещественной величиной $s$ (2,3). Но мнимую часть величины $tilde$ можно рассматривать как действительной гармоническое колебание выраженное синусом. С другой стороны действительная часть (7) равная:

представляет собой вещественное гармоническое колебание. Поэтому гармонические колебания можно записывать в комплексном виде (7) и выполнять все требуемые расчёты. При получении результата нужно взять действительную или мнимую часть для перехода к физическим величинам.

Примеры задач на колебательное движение

Задание: Материальная точка, массой $m=<10>^<-4>$кг совершает колебания согласно закону: $x=0,05$. Каково максимальное значение возвращающей силы, действующей на точку ($F_$)?

Решение:В соответствии со вторым законом Ньютона на материальную точку действует сила:

Так как колебания точки происходят по оси X, то получим:

Вычислим вторую производную от $xleft(tright)=0,05$, имеем:

Подставим правую часть выражения (1.3) в (1.2) вместо соответствующей производной, учитывая массу точки получаем:

Читайте также  Что такое ассигнация

Максимальное значение косинуса равно единице, значит:

Ответ: $left|F_right|=2cdot <10>^<-3>$Н

Задание: Нарисуйте траекторию колебательного движения точки, если она участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, которые описывают законы:

Решение:Определим, каким является уравнение колебательного движения точки в плоскости XY. Используем формулу косинуса двойного угла:

Из условия задачи:

Получаем, что $y$ равен:

Ответ: $yleft(xright)=A-frac<<2x>^2>$

Что такое колебательные движения

Механические колебания – то повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока , текущего через катушку .

Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую форму. Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны c волнами . Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается обобщённая теория колебаний и волн . Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» преобразования.

Отличие колебания от волны

Период колебаний T – интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание.

Частота колебаний ν – число полных колебаний в единицу времени. В системе СИ выражается в герцах (Гц).

Период и частота колебаний связаны соотношением:

Циклическая (или круговая) частота ω = 2πν. Она связана с периодом отношением:

Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Смещение определяется формулой:

где x – амплитуда, ω – циклическая частота, φ – начальная фаза колебания. Дифференциальное уравнение свободных гармонических механических колебаний имеет один и тот же вид для любых колебаний:

где – ускорение тела. Величина ω называется собственной частотой свободных колебаний. Ускорение при гармонических колебаниях всегда направлено в сторону, противоположную смещению; максимальное ускорение равно

В качестве примеров свободных колебаний можно привести пружинный и математический маятники. Пружинный ( гармонический ) маятник – груз массы m , прикрепленный к пружине жесткости k , второй конец которой закреплен неподвижно. Круговая частота колебаний груза равна:

а период:

Математический маятник – тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой невесомой нити длиной l . Круговая частота математического маятника равна:

а период колебаний:

В реальных условиях любая механическая система находится под действием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения, и свободные колебания становятся затухающими .

Вынужденные колебания – колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы. Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения внешней силы.

Если частота ν внешней силы совпадет с частотой свободных колебаний системы, то амплитуда колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом .

Свободные колебания.

Свободные колебания (или собственные колебания) — это колебания колебательной системы, совершаемые только благодаря первоначально сообщенной энергии (потенциальной или кинети­ческой) при отсутствии внешних воздействий.

Потенциальная или кинетическая энергия может быть сообщена, например, в механических системах через начальное смещение или начальную скорость.

Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними обра­зуют систему тел, которая называется колебательной системой.

Например, пружина, шарик и вертикальная стойка, к которой прикреплен верхний конец пружины (см. рис. ниже), входят в колебательную систему. Здесь шарик свободно скользит по струне (силы трения пренебрежимо малы). Если отвести шарик вправо и предоставить его самому себе, он будет совершать свободные колебания около положения равновесия (точки О) вследствие действия силы упругости пружины, направленной к положению равновесия.

Другим классическим примером механической колебательной системы является математический маятник (см. рис. ниже). В данном случае шарик совершает свободные колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости нити (в колебательную систему входит также Земля). Их равнодействующая направлена к положению равновесия.

Силы, действующие между телами колебательной системы, называются внутренними силами. Внешними силами называют­ся силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в нее. С этой точки зрения свобод­ные колебания можно определить как колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из положения равновесия.

Условиями возникновения свободных колебаний являются:

1) возникновение в них силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия, после того как ее вывели из этого состояния;

2) отсутствие трения в системе.

Динамика свободных колебаний.

Колебания тела под действием сил упругости. Уравнение колебательного движения тела под действием силы упругости F (см. рис.) может быть получено с учетом второго закона Ньютона (F = mа) и закона Гука (Fупр = -kx), где m — масса шарика, а — ускорение, приобретаемое шариком под действием силы упругости, k — коэффициент жесткости пружины, х — смещение тела от положения равновесия (оба уравнения записаны в проекции на горизонтальную ось Ох). Приравнивая правые части этих уравнений и учитывая, что ускорение а — это вторая производная от координаты х (смещения), получим:

.

Это дифференциальное уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости: вторая производная координаты по времени (ускорение тела) прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Колебания математического маятника. Для получения уравнения колебания математического маятника (рисунок) необходимо разложить силу тяжести FT = mg на нормальную Fn (направлен­ную вдоль нити) и тангенциальную Fτ (касательную к траектории движения шарика — окружности) составляющие. Нормальная составляющая силы тяжести Fn и сила упругости нити Fynp в сумме сооб­щают маятнику центростремительное ускорение, не влияющее на величину скорости, а лишь меня­ющее ее направление, а тангенциальная составляющая Fτ является той силой, которая возвращает шарик в положение равновесия и заставляет его совершать колебательные движения. Используя, как и в предыдущем случае, закон Ньютона для тангенциального ускорения maτ = Fτ и учитывая, что Fτ = -mg sinα, получим:

Знак минус появился потому, что сила и угол отклонения от положения равновесия α име­ют противоположные знаки. Для малых углов отклонения sin α ≈ α. В свою очередь, α = s/l, где s — дуга OA, I — длина нити. Учитывая, что аτ = s», окончательно получим:

.

Вид уравнения аналогичен уравнению . Только здесь параметрами системы являются длина нити и ускорение свободного падения, а не жесткость пружины и масса шарика; роль координаты играет длина дуги (т. е. пройденный путь, как и в первом случае).

Таким образом, свободные колебания описываются уравнениями одного вида (подчиняются одним и тем же законам) независимо от физической природы сил, вызывающих эти колебания.

Решением уравнений и является функция вида:

То есть координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону косинуса или синуса, и, следовательно, эти колебания являются гармоническими:

В уравнении x = xm cos ω t (или x = xm sin ω t), хm — амплитуда колебания, ω — собственная циклическая (круговая) частота колебаний.

Циклическая частота и период свободных гармонических колебаний определяются свойствами системы. Так, для колебаний тела, прикрепленного к пружине, справедливы соотношения:

.

Собственная частота тем больше, чем больше жесткость пружины или меньше масса груза, что вполне подтверждается опытом.

Для математического маятника выполняются равенства:

.

Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Гюйгенсом (современником Ньютона).

Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника и не зависит от его массы.

Следует особо обратить внимание на то, что гармонические колебания являются строго периодическими (т. к. подчиняются закону синуса или косинуса) и даже для математического маятни­ка, являющегося идеализацией реального (физического) маятника, возможны только при малых углах колебания. Если углы отклонения велики, смещение груза не будет пропорционально углу отклонения (синусу угла) и ускорение не будет пропорционально смещению.

Скорость и ускорение тела, совершающего свободные колебания, также будут совершать гармонические колебания. Беря производную по времени функции (x = xm cos ω t (или x = xm sin ω t)), получим выражение для скорости:

где am = ω 2 xm — амплитуда ускорения. Таким образом, амплитуда скорости гармонических коле­баний пропорциональна частоте, а амплитуда ускорения — квадрату частоты колебания.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: